practicas de word y excel

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práctica 1 Tipografía

práctica 2 Columnas

práctica 3 Carta

práctica 4 Tablas

práctica 5 Cotizaciones

práctica 6 Imágenes

práctica 7 Cuadros de texto

practica 8 Cuadro de textos 2

práctica 9 Correspondencias

CURSO DE TITULACIÓN

MATEMÁTICAS TERCER GRADO DE SECUNDARIA

BLOQUE 2

EJE SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

2.1 Patrones y ecuaciones

·         Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

EJE FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

2.2 Figuras y cuerpos

·         Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

·         Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras

 2.3 Medida

• Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.
• Explicitación y uso del teorema de Pitágoras

EJE MANEJO DE LA INFORMACIÓN

2.4 Nociones de probabilidad

• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).

EJERCICIOS DE AUTOAPRENDIZAJE

1.    Divide un segmento cualquiera en 4 partes iguales utilizando el teorema de tales. Sabrías hacerlo por otro procedimiento exacto.

2.    Divide un segmento cualquiera en 5 partes iguales utilizando el teorema de tales.

3.    Divide un segmento cualquiera en 3 partes proporcionales a 2, 3, 5 utilizando el teorema de tales.

4.    De las parejas de triángulos siguientes conocemos los lados, determina cuales son semejantes y cuáles no lo son

En caso afirmativo indica la razón de semejanza:

a)    40, 30, 50                      120, 90, 150

b)    7, 7, 7                            20, 20, 20

c)    50, 60, 70                       6, 7, 8

d)    10, 5, 15                         6, 3, 9

e)    40, 60, 70                       6, 9, 10

f)     3, 9, 3                             20, 40, 20

g)    60, 30, 60                        2, 4, 2

5.    Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determina en cada caso la razón de semejanza y los valores desconocidos:

a)    2, 4, 5         4, x, 10

b)    5, 8, 10       150, x, y

c)    30, 40, 50     x, 10, y

6.    Una persona mide 1.75m en el mismo instante en que la medida de su sombra es de 1m, la sombra de un edificio mide 25m. calcula la altura del edificio.

7.    Un rectángulo tiene una diagonal de 75m. calcula sus dimensiones sabiendo que es semejante a otro rectángulo de lados 36m y 48m.

8.    La razón de semejanza de dos figuras es 6 determina la relación de sus áreas. Si la pequeña mide 10 cm² calcula el área de la grande

9.    El área de un cuadrado es 81 cm². Calcula la longitud de otro cuadrado sabiendo que es más grande y la razón de semejanza es de 5

10. El volumen de una esfera es de 1000 cm3. Calcula el volumen de otra esfera que duplique el radio. V=4/3 π r³

11. Una escultura de 100 cm de altura pesa 2500 gr. ¿Cuánto pesará una reproducción del mismo material y de 220 cm de altura.

12. Una manguera de jardín tiene un radio de 1.2 cm. Queremos comprar otra manguera que tire el doble de agua. Calcule el radio que debe tener.

13. El área de dos círculos es 25 m² y 50 m². Calcula la razón de semejanza.

14. Si queremos dibujar una circunferencia de longitud 5 veces más grande que una circunferencia de radio 7 ¿Cuánto medirá el radio? ¿Cuánto medirá la longitud? ¿cuánto medirá el área?.

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CRITERIOS DE SEMEJANZA

Matemáticas 3er Grado

Bloque: 2

Eje:    Forma, Espacio y Medida

Tema: Formas Geométricas

Subtema: Semejanza

Conocimientos y habilidades:

Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados.   

Determinar  y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

Propósito: que el alumno vincule con los conocimientos que posee sobre proporcionalidad y semejanza, además que se dé cuenta de la relación que existe entre estos dos términos.

Figuras semejantes

A simple vista, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero su tamaño no es necesariamente igual.

Por ejemplo, los pentágonos de la figura son semejantes.

Propiedades de las figuras semejantes

(1) Sus ángulos homólogos son congruentes (tienen la misma medida).
(2) Sus lados homólogos son proporcionales.

Triángulos semejantes

Concepto de semejanza

Recuerda que dos triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño. Sin embargo, si dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales:

Ángulos correspondientes congruentes:

Lados correspondientes proporcionales:

La razón de semejanza se denomina k.

Entonces,    ABC ~   DEF  (triángulo ABC semejante al triángulo DEF)

Criterios de semejanza

Los criterios de semejanza constituyen las condiciones mínimas necesarias para establecer que dos triángulos son semejantes.

Criterio (L, L, L)

Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales.

Criterio (A, A, A)

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes.

Observación:
Como los ángulos del triángulo suman 180°, basta con determinar dos ángulos correspondientes congruentes para poder establecer la semejanza (criterio (A, A)).

 Criterio (L, A, L)

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes.

 

1)    Muestra, mediante los criterios de semejanza, que todos los triángulos equiláteros son semejantes.

2)    Demuestra que los triángulos ABC Y AED son semejantes. La recta que pasa por DE es paralela a BC.

3)    Calcula la longitud de X en las siguientes figuras, los segmentos rojos son paralelas.

                   a)

b)

                                     

4)    Encuentra el ancho del rio.

5)    Determina el ancho de la laguna.

HOMOTECIA

Matemáticas 3er Grado

Bloque: 3

Eje:    Forma, Espacio y Medida

Tema: Transformaciones

Subtema: Movimientos en el plano

Conocimientos y habilidades:

Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que -1.

Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura.

Propósito: Que el alumno entienda y comprenda la relación que existe entre el termino homotecia con la proporcionalidad de figuras.

Homotecia

Vamos a aplicarle al segmento AB una homotecia de razón r con centro en O (centro de homotecia). Los puntos C y D son los homotéticos de A y B. Como CO / AO = DO / BO = r, por el Teorema de Thales, los segmento AB y CD son paralelos; y además, los triángulos COD y AOB son semejantes. Entonces, CD / AB = r, o lo que es lo mismo, CD = r.AB

Para cualquier punto P del segmento AB, llamamos Q a la intersección de CD con la recta OP. Como las rectas AB y CD son paralelas, por el Teorema de Thales, QO / PO = CO / AO = r, entonces Q es homotético de P.

 

En definitiva, se puede ver que siempre la figura homotética de un segmento es otro segmento paralelo al original, cuya longitud es la del primero multiplicada por la razón de homotecia.

Para demostrar que la homotecia de un triángulo da por resultado otro triángulo, semejante al original, basta hacer la homotecia por separado a los tres segmentos que forman sus lados.

Más general aún, se puede demostrar de una forma parecida, que al hacer la homotecia de un polígono se obtiene otro polígono semejante al original, donde la razón de semejanza es igual a la razón de la homotecia.

Si el centro de homotecia está situado entre las dos figuras homotéticas, la razón de homotecia es negativa.

Razón de homotecia positiva

Razón de homotecia negativa

1)    Traza en tu cuaderno un triangulo cuyos lados midan 4, 5.5 y 7 cm respectivamente:

a) Construye un triángulo homotético al que trazaste en la razón de 1:2.

b) Elabora un triángulo homotético al que trazaste en la razón de 1: -2.

c) Anota tus conclusiones: __________________________________

2)    Construye una figura homotética a la siguiente; la razón de homotecia debe ser 1:3.

TEOREMA DE TALES

Matemáticas 3er Grado

Bloque: 3

Eje:    Forma, Espacio y Medida

Tema: Formas Geométricas

Subtema: Semejanza

Conocimientos y habilidades:

Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmento.

Propósito: que el alumno vincule con los conocimientos que posee sobre proporcionalidad y semejanza.

TEOREMA DE TALES

En las construcciones arquitectónicas, las formas geométricas desempeñan un papel importante, no sólo por su utilidad sino también por su estética.

Jóvenes, la Geometría es una rama de las Matemáticas que se encarga de estudiar las figuras, el espacio o los cuerpos que se pueden formar por medio de trazos, como los que ustedes ya saben hacer, utilizando los instrumentos geométricos de medición; cabe mencionar que ésta ciencia, es decir, la Geometría, nace hacia el año 4000 a.C. con los egipcios y los babilonios, quienes las utilizaban para hacer sus grandes construcciones que nosotros ya conocemos, como sus majestuosas pirámides por decir un ejemplo.

EL TEOREMA DE TALES NOS DICE:

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

 El teorema de Tales se puede aplicar para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide. 

1)    Copia los siguientes segmentos en tu cuaderno y divídelos en tres partes iguales usando la regla  y compás.

2)    Traza, con regla y compás, un triángulo equilátero cuyo lado mida 8 centímetros.

a)    Divide cada lado en tres partes iguales con el procedimiento expuesto en la lección.

b)    Une, mediante líneas paralelas a los lados, los puntos que determinan las tres partes iguales de cada lado y localiza los vértices de un hexágono regular

.

3)    Traza un segmento de recta de longitud 9.5 cm; traza sobre él un ángulo de 50^o. Toma el  otro lado del ángulo como auxiliar y divide el segmento original en cuatro partes iguales. Calcula cuánto mide cada segmento, si es la cuarta parte del original.

4)    Divide un cuadrado de lado 7cm en 9 cuadrados iguales; usa sólo regla y compás.

LA CALCULADORA

Una calculadora es un dispositivo que se utiliza para realizar cálculos aritméticos. Aunque las calculadoras modernas incorporan a menudo un ordenador de propósito general, se diseñan para realizar ciertas operaciones más que para ser flexibles.

¿Cuándo se inventó la calculadora? En 1642, Blaise Pascal desarrolló una calculadora mecánica para facilitarle el trabajo a su padre, un funcionario fiscal. El matemático y científico británico Charles Babbage en 1833, construye la llamada máquina analítica, máquina calculadora mecánica, aunque sólo se construyó una pequeña parte. Es en 1972 que se introdujo la primera calculadora científica de bolsillo del mundo, por los científicos Kilby y Merryman de nacionalidad americana.

La calculadora está presente en el currículum oficial de Educación Primaria y Secundaria dentro del bloque de números, como contenido tanto conceptual (conocimiento de las reglas de uso), como procedimental (utilización de la calculadora) y como actitudinal (confianza en el uso de la calculadora).

En el pasado, se utilizaban como apoyo al trabajo numérico ábacos, comptómetros, ábacos neperianos, tablas matemáticas, reglas de cálculo y máquinas de sumar. El término «calculador» se usaba para aludir a la persona que ejercía este trabajo, ayudándose también de papel y lápiz. Este proceso de cálculo semimanual era tedioso y proclive a errores. Actualmente, las calculadoras son electrónicas y son fabricadas por numerosas empresas en tamaños y formas variados.

Algunos padres y educadores, que se resisten a la incorporación temprana de la calculadora basan sus creencias, fundamentalmente, en mitos muy difundidos, tales como:

1º) Que la calculadora no desarrolla el razonamiento matemático, puesto que para utilizarla basta con seguir exactamente las instrucciones de funcionamiento.

 2º) Que la calculadora limita la adquisición de las habilidades de cálculo numérico de los alumnos.

Sin embargo, mucho se ha escrito y hablado a propósito del papel positivo que debe jugar la calculadora debido a su influencia en el desarrollo del pensamiento matemático. Como se ha demostrado que, los alumnos habituados a usar la calculadora mejoran su actitud hacia la Matemática, las destrezas de cálculo, la comprensión de los conceptos y la resolución de problemas.

Las calculadoras gráficas son herramientas de enseñanza diseñadas para ayudar a los estudiantes a visualizar y entender mejor los conceptos relacionados a matemáticas y ciencias.  Estas herramientas permiten que el estudiante  entienda cómo las distintas materias del currículo escolar se relacionan al mundo real.   Las calculadoras gráficas promueven el pensamiento crítico y ayudan a los estudiantes a adquirir destrezas en resolución  de problemas.

 ¿Cuáles son los beneficios de las calculadoras gráficas? 

 Las calculadoras gráficas  poseen aplicaciones que pueden ser actualizadas constantemente y sirven de apoyo a los estudiantes desde la educación secundaria hasta la educación universitaria,   proveyendo un inmenso valor y longevidad de uso. No es sólo una inversión en tecnología, sino también una inversión en el desarrollo de las habilidades y destrezas de los estudiantes, el entendimiento  y buen rendimiento en las áreas de  matemáticas y ciencias beneficiarán a los estudiantes independientemente de la carrera que elijan estudiar.

 Las calculadoras gráficas son utilizadas en distintas clases de matemáticas y ciencias tales como: álgebra, geometría, biología, estadísticas, pre-cálculo,  cálculo, etc., y son recomendadas por profesores a nivel mundial. Las calculadoras no “entienden” matemática pero facilitan considerablemente la comprensión de la matemática.

LA AXIOMÁTICA

Un sistema formal axiomático, está constituido por un conjunto de proposiciones llamadas tesis del sistema, de las que unas son los axiomas y otras los teoremas.

Son las proposiciones básicas del sistema. Axioma viene del griego αξιωματα que significa dignidades. Son las proposiciones más dignas, las primeras. Así las bautizó Euclides en sus Elementos. Antiguamente estos axiomas eran evidentes; es decir, su verdad se imponía inmediatamente a la mente. Son los llamados axiomas materiales.

En la actualidad, sin embargo, los axiomas se enuncian como axiomas formales, como proposiciones cuya verdad no se plantea como problema, pero que se establecen como fundamento de todas las demás proposiciones del sistema formal axiomático.

Para hacernos una idea adecuada del sistema formal axiomático, pondremos como ejemplo, el del juego de ajedrez. Los axiomas son las reglas del juego, de las que no se pueden salir los jugadores, y, por tanto, en los sistemas formales axiomáticos, los axiomas deben quedar bien establecidos para que se puedan deducir los teoremas con ausencia de contradicción.

Los teoremas

Son las proposiciones o tesis del sistema formal axiomático que se demuestran a partir de los axiomas, o a partir de otros teoremas ya demostrados.

Estructura de un sistema formal axiomático

  Parte morfológica

1. Un conjunto de componentes primitivos.
2. Un conjunto de operaciones relativas a tales componentes.
3. Un conjunto de reglas de formación expresivas de cómo a partir de los componentes primitivos se pueden construir nuevos componentes llamados derivados.

  Parte axiomática

1. Un conjunto de axiomas.
2. Un conjunto de definiciones.
3. Un conjunto de reglas o criterios de deducción.
4. Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en los tres conjuntos anteriores.

Euclides construyó su geometría, una geometría que resistió el paso de dos mil años, utilizando un método de trabajo especialmente acertado: el método axiomático. Euclides empezaba por enunciar una serie de verdades que le parecían evidentes por sí mismas y que aceptaba sin demostración previa. Por ejemplo que por dos puntos pasa siempre una recta, o que dos rectas no paralelas se cortan siempre en un solo punto. Una vez aceptados estos presupuestos básicos, las únicas reglas del razonamiento le proporcionaban todo lo demás. A partir de los enunciados primitivos, de los axiomas, se iban encadenando una tras otra las deducciones que se desprendían de ellos, eran los teoremas. Por supuesto, la elección de los axiomas en cierto sentido arbitraria, puede partirse de un cierto conjunto de enunciados o de otro conjunto distinto. Lo que en verdad importa es que se respeten las reglas deductivas y se mantenga el entramado total en toda su complejidad. El método de trabajo de la matemática moderna es semejante al de Euclides, sólo que más perfecto y acabado. Supongamos que queremos edificar una teoría matemática, por ejemplo la teoría de conjuntos. Empezaremos por definir una serie de axiomas que nos aclaren lo que entendemos por los conjuntos, luego nos pondremos a deducir de acuerdo con las reglas del juego, y ésta será nuestra teoría de conjuntos. Eligiendo los axiomas con cuidado no hay que temer a la antinomias; precisamente los axiomas se pensarán de tal manera que las antinomias no puedan aparecer. Ésta es la ventaja de una teoría formalizada frente a una intuitiva. Lo único que se le pide a este juego lógico es que no nos lleve a contradicciones, es decir, que no podamos probar a la vez, a partir de los axiomas un teorema y su negación. Un sistema de axiomas es consistente cuando no es posible probar a la vez un teorema y su contrario.

Un método parece afirmativo si las razones que lo impusieron son desconocidas. Y lo mejor para hacer comprensible la función que desempeña la axiomática es, pues, en primer lugar, exponer inicialmente las fallas que se intenta remediar (capítulo I). Más razonablemente se duda que la axiomática haya alcanzado desde un primer momento su perfección. En rigor, las exigencias que la hicieron nacer fueron, en su turno, como exasperadas por su uso y se volcaron sobre ella para empujarla cada vez más lejos en la ruta con la cual se había comprometido. Sin seguir detalladamente esta transformación histórica en forma detallada, se hace necesario distinguir al menos dos etapas mayores de su desarrollo.

Euclides y sus continuadores hasta el siglo XIX silenciaron por lo general tales propiedades empleándolas, no obstante, a cada paso, pues la figura las sugería suficientemente. Queda claro que un método riguroso no puede permitir que la intuición se emplee continuamente como un recurso, sino que demanda que todas las propiedades supuestas se enuncien claramente como proposiciones, aquellas que queden demostradas serán consideradas como teoremas y las restantes aumentarán el número de los postulados.

Al lado de los postulados se colocan, por lo general, los axiomas para completar los principios de la geometría. Son el otro nombre que se da a las “nociones comunes” y a las definiciones de Euclides. ¿Desde el punto de vista de la lógica tal ordenamiento queda justificado?

La diferencia entre axioma y postulado ha sido, con frecuencia, poco clara. Comúnmente ambas expresiones fueron, y siguen siendo, tomadas indiferentemente una por otra. Prueba de esto es el mismo nombre de la axiomática que, sin duda, podría llamarse, con mayor precisión, postulática.

La pluralidad de geometrías existentes en la actualidad hace que no ocurra ahora lo mismo, dado que se pierde interés en la verdad material del contenido, y la validez de una geometría se hace descansar sobre la armazón lógica y cualquier falta hace que ésta se derrumbe, puesto que son violadas las reglas del juego si uno se apoya en la intuición.

Un sistema geométrico, aparte de la lógica, da por supuesto a la aritmética, pues para definir un triángulo es necesario utilizar el tres; asimismo, para demostrar que la suma de sus ángulos es igual a dos rectos, se hace necesario admitir la validez de los teoremas aritméticos relativos a la adición. En forma general, se denominará anteriores a un sistema axiomático a todos los conocimientos del sistema así llamado.

El estatuto lógico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a título de verdades generadoras de otras verdades, sino que sólo se les coloca a título de hipótesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican.

El fin que se persigue cuando se pone en forma axiomática una teoría deductiva es apartarla de las significaciones concretas e intuitivas sobre las que, en primer lugar, fue elaborada, y esto con el fin de hacer aparecer en forma clara el esquema lógico abstracto.

Si bien simbolización y formalización constituyen dos pasos diferentes y separables en la teoría, en realidad se encuentran muy estrechamente ligadas, puesto que la segunda es facilitada considerablemente por la primera, por lo que recurre a ella en forma casi irresistible.

La presentación lógica de las teorías deductivas tomó, hacia 1920, un nuevo giro, comprometiéndose con el camino de la formalización. Con el fin de sustraer la validez del sistema de toda apreciación subjetiva se impuso a partir de entonces la necesidad de enunciar en forma precisa y detallada, que no dé lugar a la casuística en las reglas de definición y demostración que rigen su construcción.

Una axiomática formalizada aparece de este modo como un conjunto de signos, unos que son propios a la teoría y otros que son anteriores, provistos del enunciado de las reglas que se aplicarán al manejo de tales signos. Con frecuencia estas reglas se dividen en dos grupos: las reglas de estructura, destinadas a la formación de las expresiones (en ellas pueden colocarse las reglas para hacer las definiciones) y las reglas de deducción (destinadas a las demostraciones). Las primeras siempre deben permitir reconocer sin disputa alguna si una expresión (ya sea o no proposicional) se encuentra bien formada y, de este modo, pertenece al sistema; las segundas, si una deducción está bien llevada y si, en consecuencia, su conclusión constituye un teorema del sistema.

La formulación axiomática de una teoría deductiva podría parecer que tenía un interés limitado. Entre los matemáticos, gran cantidad de ellos no veían en ella sino poco más que un procedimiento elegante de hacer una exposición, cuyo refinamiento era muy superfluo, casi una especie de juego intelectual apto sólo para satisfacer espíritus en exceso escrupulosos en lo que respecta al rigor lógico, pero que se encontraba al margen del trabajo científico y verdaderamente productivo.

Resultaría en extremo difícil medir con precisión la parte que le corresponde al método axiomático en el desarrollo de las matemáticas modernas. Más que de una causalidad bien orientada, indudablemente sería obligado hablar con frecuencia de acciones recurrentes o conjugadas. Toda teoría matemática, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, ha sido ya axiomatizada y, con frecuencia, en formas múltiples.

El orden tradicional,29 que repartía las disciplinas matemáticas de acuerdo con los objetos de estudio (aritmética, álgebra, análisis infinitesimal, geometría) parece en la actualidad tan superficial como el de las antiguas clasificaciones zoológicas que agrupaban a los animales de acuerdo con sus semejanzas exteriores (acuáticos, terrestres, aéreos) en lugar de basarse en las similitudes de su estructura. Se coordinan ahora teorías que tratan acerca de objetos muy diferentes pero que se encuentran dotados de propiedades formales análogas. La teoría de los números primos se halla muy cercana a la de las curvas algebraicas, la geometría euclidiana a las ecuaciones integrales simétricas. Y la subordinación se basa sobre la jerarquía de las estructuras, que van de las más simples y generales a las más complejas y más especiales.

La axiomática consiste en el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual también significa que toda puesta en forma deductiva encamina ya por la ruta de la axiomática. La costumbre de duplicar el lenguaje mediante el simbolismo matemático ha acostumbrado a los físicos desde hace mucho tiempo a distinguir no entre teorías con imágenes y teorías abstractas, como entre dos aspectos, uno concreto y otro simbólico de la misma teoría.

En primer lugar, la axiomática abre una de las vías posibles para resolver el problema que ha dominado, desde principios del siglo XX, toda la filosofía matemática, esto es, las bases mismas de esta ciencia. Este problema, que hasta entonces prácticamente no había preocupado a los matemáticos, les fue impuesto en forma brusca debido a la crisis que produjo la formulación de la teoría de los conjuntos.

Uno de los objetivos principales de la metamatemática de Hilbert es evitar el callejón sin salida, y salir de él sustituyendo mediante el razonamiento la intuición desfalleciente. La formalización de la axiomática requiere que pueda ser establecido, mediante la vía demostrativa y sin necesidad de apelar al sentimiento subjetivo de la evidencia, si un sistema de axiomas es congruente o no.

La antigua distinción entre ciencia racional y ciencia empírica, que constituye un lugar común de la epistemología desde los tiempos de Bacon, sin duda merece ser conservada, pero con la condición de que no se confundan ya en ella dos acepciones que sólo coinciden parcialmente y que la axiomática permite separar en forma precisa una de la otra.