Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.
La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la capacidad de abstracción del hombre o como una expansión de la materia estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también por muchos animales, fueron probablemente los números. Esta noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban.
Desde el comienzo de la historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los impuestos y el comercio, comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los eventos astronómicos. Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas — la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Desde entonces, las matemáticas han tenido un profuso desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia, en beneficio de ambas. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad.
Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades, las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.
Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (ð), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416.
Tiempo más tarde, los babilonios desarrollaron matemáticas más sofisticadas, lo cual les permitió encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. También lograron encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Fueron capaces de recopilar gran cantidad de tablas, como las de multiplicar, de dividir, de cuadrados y hasta las de interés compuesto. Calcularon la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, pero también de sucesiones de cuadrados. Aunque también obtuvieron una buena aproximación de la raíz cuadrada.
Uno de los grupos más innovadores en la historia de las matemáticas fueron los egipcios, quienes inventaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Los descubridores egipcios más importantes fueron Tales de Mileto y Pitágoras de Samos, quien explicó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.
Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (h. 639 - h. 547/6 a. C. ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras. Fue además uno de los más grandes astrónomos y matemáticos de su época.
Sus estudios abarcaron profundamente el área de la geometría, álgebra lineal, geometría del espacio y algunas ramas de la física, tales como la estática, la dinámica y la óptica. Su vida está envuelta en un halo de leyenda.
Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. Ha de haber, pues, alguna naturaleza, sea una o más de una, a partir de la cual todo lo demás se genera, conservándose aquélla.
Tal vez llegó a esta concepción tras observar que todas las cosas tienen un elemento húmedo y que el calor se produce y se mantiene en la humedad (ya que aquello a partir de lo cual se generan las cosas es el principio de todas ellas). Por eso llegó a esta concepción y también porque todas las simientes son de naturaleza húmeda y el agua es el principio natural de las cosas húmedas."
Escuela Pitagórica
Se le conoce con este nombre al amplio movimiento filosófico de origen presocrático basado en las doctrinas atribuidas a Pitágoras de Samos y sus discípulos más inmediatos. El pitagorismo propiamente dicho es el movimiento de investigación filosófica, matemática y mística desarrollado durante el siglo V a.C. por los discípulos de Pitágoras, aunque como tal movimiento se inicio ya a partir de la primitiva secta-místico-religiosa fundada por Pitágoras en el siglo VI a.C. y , posteriormente, continuó durante varios siglos bajo la forma de neopitagorismo. Debe entenderse por pitagorismo el conjunto del pensamiento de lo que Aristóteles llama pitagóricos, reconociendo en este autor la autoridad y el conocimiento suficiente como para ceñirnos a la descripción que él nos ofrece. Entendido el mismo cultivo de las matemáticas como el camino de purificación moral. Concibe la naturaleza a partir de relaciones numéricas y, además el numero es para ellos el principio o arkhé y la materia de las cosas. Principales autores de la doctrina pitagórica, Hipaso De Metaponto, Ecfanto, Hicetas, Filolao, Arquitas De Tarento.
La filosofía de Pitágoras se desarrolla en una doble vertiente: una místico-religiosa y otra matemático-científica.
Por lo que respecta a la primera, el eje central está representado por la teoría de la trasmigración de las almas y la consecuente afirmación del parentesco entre todos los seres vivos. Según ella, las almas son entidades inmortales que se ven obligadas a permanecer en cuerpos reencarnándose sucesivamente pasando de unos a otros durante un periodo de tiempo indeterminado, hasta superar el proceso de reencarnaciones gracias a la purificación (catarsis), que culmina en el regreso del alma a su lugar de origen. Para ello, era necesario observar numerosas reglas de purificación, por ejemplo, la abstinencia de la carne, así como diversas normas rituales y morales. Esta teoría será adaptada posteriormente por Platón, constituyendo un elemento importante de su filosofía.
Respecto a la vertiente matemático-científica, Pitágoras afirmaba que los números eran el principio de todas las cosas.
No sabemos si se concebían los números como entidades físicas o si, por el contrario, se afirmaba que el principio de la realidad era algo de carácter formal, es decir, no material (una relación, una estructura...). Aristóteles pensaba que la doctrina pitagórica del número se basaba en descubrimientos empíricos; por ejemplo, el hecho de que los intervalos musicales puedan expresarse numéricamente. (De hecho los pitagóricos concedieron una gran importancia al estudio de la música, vista su relación con las matemáticas. Esta relación la pudieron ir ampliando al resto de objetos que constituyen la realidad, descubriendo en el número la razón de todo lo real, lo que llevaría a convertirlo en el "arjé" de los milesios.) Parece, además, que los pitagóricos concibieron los números espacialmente, identificando el punto geométrico con la unidad aritmética. Las unidades tendrían, pues, extensión espacial y podrían ser consideradas, como dice Aristóteles, como el elemento material de las cosas.
Es dudoso que los pitagóricos hayan podido interpretar el número como una realidad de carácter formal o como una estructura de la realidad, es decir, como algo no material, dado que la aparición clara de la concepción de una realidad no material difícilmente puede anticiparse a la reflexión platónica sobre el tema. No obstante, pese a las explicaciones de Aristóteles, tampoco queda muy claro cómo podría interpretarse el número como una entidad material. También en su vertiente matemática influirán en Platón los pitagóricos.
Parménides de Elea (en griego Παρμενίδης ὁ Ἐλεάτης) fue un filósofo griego. Nació entre el 530 a. C. y el 515 a. C. en la ciudad de Elea, colonia griega del sur de Magna Grecia (Italia), ciudad que le debió también su legislación.
Parménides escribió una sola obra, un poema en verso épico, del cual nos han llegado fragmentos conservados en citas de otros autores. Los especialistas consideran que la integridad de lo que conservamos es notablemente mayor en comparación con lo que nos ha llegado de las obras de casi todos los restantes filósofos presocráticos, y por ello su doctrina puede ser reconstruida con mayor precisión.
Los Tres Problemas Geométricos Más Famosos De La Antigüedad
Vale la pena de hablar de los tres problemas que más preocuparon a los griegos desde que aquella ciencia empezó a Construirse racionalmente. Estos tres problemas son: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo, que los griegos no supieron resolver. La única ventaja que tenemos sobre ellos es la de saber por qué son irresolubles. Como dichos problemas han trastornado a tantas cabezas de aficionados a la Matemática y todavía existe una pintoresca fauna de locos inofensivos que cree haberlos resuelto, conviene precisar lo que quiere decir “resolver un problema” que es, precisamente, lo que no saben los pobres ilusos que se caracterizan tanto por su ignorancia de Matemática actual y de la historia de esta ciencia como la testaruda resistencia pasiva que oponen a todo intento para convencerles de su error.
1) Duplicación del Cubo:
El de la duplicación del cubo tiene un origen fabuloso y constituye el tema de una carta de Eratóstenes al rey Ptolomeo, que dice así: “Cuéntase que uno de los antiguos poetas trágicos hacía aparecer en escena a Minos en el momento en que se construía la tumba de Glauco, y, al observar que sólo medía cien pies por cada lado, dijo: “Es un espacio muy pequeño para sepulcro de un rey; duplicadla conservando su forma cúbica, duplicando cada lado”. Es evidente que se equivocaba porque duplicando los lados de una figura plana se cuadruplica, mientras que una sólida se octuplica; y entonces, se propuso a los geómetras la cuestión de duplicar una figura sólida dada conservando su forma, y este problema se llamó duplicación del cubo. Después de un largo período de incertidumbre, Hipócrates de Quío encontró que si entre dos rectas, una de las cuales es doble de la otra, se insertan dos medias en proporción continua, el cubo quedará doblado, con lo que no hizo sino transformar la dificultad en otra no menor. Se cuenta también que, más tarde, los de Delos, obligados por el oráculo a duplicar el altar, tropezaron con la misma dificultad y entonces enviaron embajadores a los geómetras que, con Platón, frecuentaban la Academia, para que resolvieran la cuestión. Se ocuparon de ella diligentemente y se dice que, al proponerse insertar dos medias entre dos rectas, lo consiguieron Arquitas de Tarento con el semicírculo y Eudoxio mediante ciertas curvas. A estos siguieron otros que se esforzaron por hacer más perfectas las demostraciones; pero no pudieron efectuar la construcción y acomodarla a la práctica, excepto, acaso, Menecmo, y cón gran trabajo”.
En este importante documento hist6rico, Eratóstenes se hace eco de dos fábulas: una toma como punto de partida la escena en que Eurípides hace cometer al legendario rey de Creta, ante la tumba de su hijo, el error de decir que duplicando la arista de un cubo se duplica su volumen, error que corrige Eratóstenes haciendo observar que duplicando los lados de una “figura plana” —el cuadrado— se cuadruplica [su área] (fig. 13) y haciendo lo mismo con una “sólida” —el cubo (fig. 14) se octuplica [su volumen]; y la otra leyenda alude a la orden de la pitonisa de Delos de duplicar el altar dedicado a Apolo para aplacar la ira de los dioses que habían desencadenado una epidemia en la isla.
Es probable que el problema de duplicar el cubo, también llamado problema de Delos o problema délico, no fuera inspirado por la megalomanía de Minos ni por el oráculo de la sibila, sino por los propios geómetras puesto que sabiendo desde los tiempos de Pitágoras que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro tiene doble área que éste (fig. 15), es decir: sabiendo duplicar el cuadrado mediante la construcción gráfica de la raíz cuadrada de 2 y guiados por su espíritu de generalización, parece natural que quisieran trasportar al espacio el mismo problema, lo que les llevó al de extraer la raíz cúbica de 2, y ante la imposibilidad de construir con la regla y el compás la arista de un cubo de doble volumen que otro, redujeron el problema a otro y, según Eratóstenes, fue Hipócrates de Quío el primero que lo intentó.
Este geómetra —a quien no hay que confundir con su homónimo y contemporáneo el de Cos, padre de la Medicina— nació hacia 450 antes de C. y fue comerciante hasta que los recaudadores de la Aduana ateniense que residían en el Quersoneso lo despojaron de sus bienes y, para reclamar los, se trasladó a Atenas, cuyos ciudadanos se burlaron de él por la ingenuidad que suponía en un extranjero creer que se le iba a hacer justicia. Otros historiadores opinan que la, presencia de Hipócrates en la capital del Ática obedeció al intento de recuperar. las mercancías de uno de sus barcos apresados por piratas atenienses en las proximidades de Bizancio, lo cual era también una tontería.
Sea de ello lo que fuere, es lo cierto que Hipócrates aparece en Atenas por los años de 430, y mientras gestionaba la reivindicación de sus derechos —en lo que están de acuerdo todos los eruditos, ya que no en la causa de la reivindicación— asistió a las lecciones de los filósofos y abrió una escuela de Geometría que fue la que echó las bases del método de reducción que, como hemos dicho antes, consiste en trasformar un problema en otro ya resuelto.
Es posible que tal procedimiento, que parece inseparable de la investigación matemática, hubiera sido empleado antes de Hipócrates, pero fue éste quien descubrió d trato lógico común a muchos métodos para resolver problemas y demostrar teoremas y quien lo aplicó cuestiones.
2) Trisección de un Angulo:
El problema de la trisección del ángulo —aunque se ignora su origen— no sería aventurado suponer que se lo plantearon los geómetras cuando supieron bisecarlo por el método que hemos aprendido en el Bachillerato, durante cuyos estudios también nos han dicho que el problema de la trisección es posible en algunos casos particulares: posible —se entiende— con regla y compás.
Para la solución general los griegos utilizaron la curva construida por Hippias de Elea llamada después cudratriz porque también servía para cuadrar el círculo. La cuadratiz (fig. 19) es la curva que pasa por los puntos de intersección de las diversas posiciones del lado AB del cuadrado ABCD girando con movimiento uniforme alrededor de A hasta ocupar la posición AD y el lado BC trasladándose paralelamente a sí mismo y también con movimiento uniforme hasta llegar también a AD.
Hippias imaginó un aparato para describir mecánicamente la curva, de cuya generación se deduce que trazan una recta cualquiera AB, la razón de cuadrante BED al arco BE es la misma que la del segmento BA al GH, de modo que para trisecar el ángulo EAD basta determinar JI = 1/3GH y el ángulo JAD es la tercera parte del EAD.
3) Cuadratura de un Círculo:
El tercer problema famoso: la cuadratura del círculo, es el más popular de todos y también fue abordado por Hipócrates, quien consiguió cuadrar algunos meniscos ó lúnulas, es decir: figuras limitadas por arcos de circunferencia, como la ACED (fig. 20) y la ACDB (fig. 21), la primera de las cuales, por ejemplo, limitada por el cuadrante AED y la semicircunferencia ACD de diámetro igual a la cuerda de aquél, equivale al triángulo rectángulo AOD formado por dicha cuerda y por los radios OA y OD que pasan por sus extremos, como se demuestra fácilmente. Los descubrimientos de Hipócrates hicieron concebir la esperanza de cuadrar el círculo por sucesivas cuadraturas de lúnulas, y como todos los intentos fueron estériles, se pensó en otros medios que condujeron al descubrimiento de algunas curvas notables, como la concoide de Nicomedes y la cisoide de Diocles, matemáticos ambos de la época alejandrina.
