FRACCIONES
INTRODUCCIÓN
El docente es, sin duda alguna, uno de los depositarios máximos de las miradas que el contexto social pone en la institución escolar. Desde la aparición de la figura del maestro, como el responsable de la tarea de impartir educación formal, su perfil estuvo asociado indudablemente a las características que la sociedad le fue imponiendo. Sin embargo, lo que se constituyó como una propiedad perdurable, fue sin duda alguna, la responsabilidad que a su rol se le atribuye, ligada a la transformación de otro u otros.
Desde algunas perspectivas se considera que para enseñar, sólo basta transmitir conocimientos, de tal manera que el alumno sea mero receptor de la información que le proporciona el docente. En contraposición, otra postura sostiene que el docente debe favorecer la construcción del conocimiento de sus alumnos mediante un trabajo más activo por parte de éste. Entre ambos posicionamientos existe una multiplicidad de puntos de vista en los que coexisten aspectos comunes a los mismos, los que al fin de cuentas aparecen sólo como simples expresiones intermedias.
Los innumerables supuestos que surgen ante el “¿cómo hay que enseñar?” se han visto reflejados en los resultados de numerosas investigaciones didácticas. Algunas de ellas han puesto el acento en el rol del docente, en las formas de enseñanza y aprendizaje. Otras han tenido en cuenta aspectos relativos a las concepciones que los profesores tienen acerca de su accionar. Las concepciones que éstos tengan acerca de la enseñanza, de los contenidos, de los alumnos y de la realidad circundante, afectarán sin duda alguna el modo en que enfoque la enseñanza.
CONTENIDO
En la matemática las fracciones o números racionales surgen como necesidad de ampliación del campo numérico de los números enteros.
El camino para el aprendizaje de las fracciones lo constituirán los problemas dados en los distintos contextos en que aparecen las fracciones: medida, reparto equitativo, trayectos, patrones, probabilidad, ganancias, recetas, áreas, etc. Serán las situaciones en contextos variados los que den oportunidad a los alumnos de reinventar estos números reconociendo su necesidad y significado. (Cualquier decimal o porcentaje, en tanto formas de escrituras de las fracciones, pueden ser interpretados también de cada una de estas maneras). ¿Cuáles son los diferentes significados de las fracciones en sus contextos de uso?
a. La fracción como expresión que vincula la parte con el todo (continuo o discontinuo)
En este caso se la utiliza para indicar “la fractura” o “división en partes”, respondiendo a la pregunta ¿qué parte es? del entero en cuestión. Se conviene que el denominador de la fracción indica el número de partes en que está dividido dicho entero y el numerador las partes consideradas.
b. La fracción como reparto equitativo
Respondiendo a la pregunta ¿cuánto le corresponde a cada uno? Por ejemplo, si tengo 9 panqueques para ser repartidos entre 7 invitados, cada invitado comerá 9/7 lo que equivale a 1 panqueque y 2/7. Análogamente, si he de repartir 3 barras de chocolate entre 4 niños cada uno recibirá 3/4 de barra. Estas situaciones se diferencian de las de parte todo en tanto intervienen unidades múltiples (panqueques- niños - manzanas - comensales, etc.)
c. La fracción como razón
Sirve a la pregunta ¿en qué relación están? ya que pone de manifiesto la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de comparar:
- dos conjuntos distintos, por ejemplo, la razón o relación entre número de libros en la clase y número de alumnos. Así, 13 libros para 26 alumnos podrá expresarse como 13/26 leyéndose “13 a 26” ó lo que es lo mismo, “1 por cada 2”.
un conjunto y un subconjunto del mismo, por ejemplo, la relación entre los 21 alumnos en total y los alumnos varones (11) de una clase puede expresarse como 11/21 o “11 a 21”. Un caso especial lo constituye la probabilidad definida como el número de casos favorables sobre el número de casos posibles de un evento determinado. Por ejemplo, en la tirada de un dado la probabilidad o razón de probabilidad de que salga un 2 “es uno a 6” lo cual se indica como 1/6.
- dos medidas según una unidad de medida común, por ejemplo, podremos afirmar que Juan tiene una altura equivalente a 2/3 de la de Pedro (en cm) o que la escala (razón entre la distancia entre dos puntos determinados en el mapa y su distancia real) es 1 sobre 1 000000, lo que puede significar que un milímetro en el mapa corresponde a un kilómetro en la realidad. Ejemplos de presentación de escalas: 1cm representa 100km y una pulgada representa 100millas:Km. 0 50 100 150 200 Millas 0 50 100 150 200
- un conjunto y un subconjunto del mismo, por ejemplo, la relación entre los 21 alumnos en total y los alumnos varones (11) de una clase puede expresarse como 11/21 o “11 a 21”. Un caso especial lo constituye la probabilidad definida como el número de casos favorables sobre el número de casos posibles de un evento determinado. Por ejemplo, en la tirada de un dado la probabilidad o razón de probabilidad de que salga un 2 “es uno a 6” lo cual se indica como 1/6.
- dos medidas según una unidad de medida común, por ejemplo, podremos afirmar que Juan tiene una altura equivalente a 2/3 de la de Pedro (en cm) o que la escala (razón entre la distancia entre dos puntos determinados en el mapa y su distancia real) es 1 sobre 1 000000, lo que puede significar que un milímetro en el mapa corresponde a un kilómetro en la realidad. Ejemplos de presentación de escalas: 1cm representa 100km y una pulgada representa 100millas:Km. 0 50 100 150 200 Millas 0 50 100 150 200
d. La fracción como división indicada
Para el caso en que la división sea inexacta, por ejemplo 3:7 no da un cociente entero (0.428571…) luego puede ser conveniente dejar expresada esta división como 3/7, lo cual es un resultado exacto. Es en este contexto en que “tres séptimos” se lee “ 3 dividido 7”.
e. La fracción como un punto de la recta numérica
Ubicadas en posiciones intermedias entre dos números enteros
f. La fracción como operador
En este caso la fracción actúa sobre otro número, en lugar de como una entidad con sentido autónomo. Esto se explicita cuando se piden, por ejemplo, los 4/5 de 20 (o el 80% de 20) ó los 3/4 de 56 (75% de 56).
Son los contextos los que caracterizan con qué sentido se usan las fracciones, lo cual puede apreciarse en los siguientes problemas. Sin embargo, vale decir que no siempre está claramente definido para los alumnos el aspecto en cuestión y un mismo problema puede ser resuelto desde distintos usos de la fracción.
Los significados de las operaciones con fracciones
Si bien la formalización, es decir, el trabajo con las definiciones a nivel simbólico de las operaciones, no corresponde al segundo ciclo, sí corresponde comenzar a trabajar problemas (y no ejercicios aislados) en los que se vaya trabajando el sentido de las definiciones mismas.
A continuación presentamos algunos comentarios que pueden resultarnos de utilidad a los docentes para comprender los variados significados de las operaciones con números racionales y ayudarnos en la búsqueda de situaciones y problemas para dar a nuestros alumnos.
En la suma y la resta
Se han de buscar situaciones que tengan fracciones con igual y distinto denominador, y que combinen fracciones, números naturales y números mixtos.
Los significados de las fracciones pensadas como estados son idénticos a los de la suma y la resta con naturales (unir, separar, agregar, quitar, igualar).
Las fracciones pensadas como operadores implican la búsqueda de una cantidad intermedia (unidad o común denominador) al que se aplican. Por ej. 2/3 + 3/4 se puede pensar como 2/3 de una cantidad más 3/4 de la misma. Por ejemplo, sea la cantidad 12, con lo cual 2/3 de 12 es 8 y 3/4 de 12 es 9 y el resultado de sumarlas es 17/12.
Por ejemplo, el problema Ana se comió 2/4 de las galletitas y Nina 2/5 de las mismas ¿Qué parte de galletitas quedaron en el tarro? puede ser pensado como dos estados que se unen o bien como dos operadores que actúan sobre la cantidad de galletitas. En ambos casos se ha de buscar una unidad conveniente, por ejemplo 20 y el resultado será 18/20.
En la multiplicación
Se darán situaciones problemáticas de multiplicación de números naturales por fracciones y fracciones entre sí atendiendo a los distintos significados:
- n x a/b resulta identificable como “n veces a/b” Por ejemplo 5 x 3/4 = 5 veces 3/4
- a/b x n resulta identificable con la expresión “a/b de n” lo que implica dividir n por b y multiplicar el resultado por a ó viceversa. Por ejemplo: 3/5 x 10 será pensado como 3/5 de 10 lo que resulta igual a 6.
- a/b x c/d = se extiende el significado anterior “a/b de c/d”. En general el resultado es menor que los factores salvo que se trabaje con fracciones mayores que la unidad. Por ejemplo: 2/3 de 3/4 resultará 6/12. Los significados de las operaciones con fracciones
Si bien la formalización, es decir, el trabajo con las definiciones a nivel simbólico de las operaciones, no corresponde al segundo ciclo, sí corresponde comenzar a trabajar problemas
(y no ejercicios aislados) en los que se vaya trabajando el sentido de las definiciones mismas.
En la división
Se darán situaciones que atiendan a dividir fracciones por naturales, naturales por fracciones y fracciones entre sí
1) n : a/b posee el significado de partir (¿Cuántas veces cabe a/b en n?). Por ejemplo: 6 : 2/3 equivale a cuántas veces cabe 2/3 en 6, lo que da 9 veces.
2) a/b : n = puede pensarse como repartir una fracción en n partes. Por lo que 2/3 dividido 3 resulta 2/9.
3) a/b : c/d corresponde también a partir (¿Cuántas veces cabe c/d en a/b?) Por ejemplo: 3/4 : 1/4 equivale a cuántas veces cabe 1/4 en 3/4 lo que es igual a 3.
