LA AXIOMÁTICA

Un sistema formal axiomático, está constituido por un conjunto de proposiciones llamadas tesis del sistema, de las que unas son los axiomas y otras los teoremas.

Son las proposiciones básicas del sistema. Axioma viene del griego αξιωματα que significa dignidades. Son las proposiciones más dignas, las primeras. Así las bautizó Euclides en sus Elementos. Antiguamente estos axiomas eran evidentes; es decir, su verdad se imponía inmediatamente a la mente. Son los llamados axiomas materiales.

En la actualidad, sin embargo, los axiomas se enuncian como axiomas formales, como proposiciones cuya verdad no se plantea como problema, pero que se establecen como fundamento de todas las demás proposiciones del sistema formal axiomático.

Para hacernos una idea adecuada del sistema formal axiomático, pondremos como ejemplo, el del juego de ajedrez. Los axiomas son las reglas del juego, de las que no se pueden salir los jugadores, y, por tanto, en los sistemas formales axiomáticos, los axiomas deben quedar bien establecidos para que se puedan deducir los teoremas con ausencia de contradicción.

Los teoremas

Son las proposiciones o tesis del sistema formal axiomático que se demuestran a partir de los axiomas, o a partir de otros teoremas ya demostrados.

Estructura de un sistema formal axiomático

  Parte morfológica

1. Un conjunto de componentes primitivos.
2. Un conjunto de operaciones relativas a tales componentes.
3. Un conjunto de reglas de formación expresivas de cómo a partir de los componentes primitivos se pueden construir nuevos componentes llamados derivados.

  Parte axiomática

1. Un conjunto de axiomas.
2. Un conjunto de definiciones.
3. Un conjunto de reglas o criterios de deducción.
4. Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en los tres conjuntos anteriores.

Euclides construyó su geometría, una geometría que resistió el paso de dos mil años, utilizando un método de trabajo especialmente acertado: el método axiomático. Euclides empezaba por enunciar una serie de verdades que le parecían evidentes por sí mismas y que aceptaba sin demostración previa. Por ejemplo que por dos puntos pasa siempre una recta, o que dos rectas no paralelas se cortan siempre en un solo punto. Una vez aceptados estos presupuestos básicos, las únicas reglas del razonamiento le proporcionaban todo lo demás. A partir de los enunciados primitivos, de los axiomas, se iban encadenando una tras otra las deducciones que se desprendían de ellos, eran los teoremas. Por supuesto, la elección de los axiomas en cierto sentido arbitraria, puede partirse de un cierto conjunto de enunciados o de otro conjunto distinto. Lo que en verdad importa es que se respeten las reglas deductivas y se mantenga el entramado total en toda su complejidad. El método de trabajo de la matemática moderna es semejante al de Euclides, sólo que más perfecto y acabado. Supongamos que queremos edificar una teoría matemática, por ejemplo la teoría de conjuntos. Empezaremos por definir una serie de axiomas que nos aclaren lo que entendemos por los conjuntos, luego nos pondremos a deducir de acuerdo con las reglas del juego, y ésta será nuestra teoría de conjuntos. Eligiendo los axiomas con cuidado no hay que temer a la antinomias; precisamente los axiomas se pensarán de tal manera que las antinomias no puedan aparecer. Ésta es la ventaja de una teoría formalizada frente a una intuitiva. Lo único que se le pide a este juego lógico es que no nos lleve a contradicciones, es decir, que no podamos probar a la vez, a partir de los axiomas un teorema y su negación. Un sistema de axiomas es consistente cuando no es posible probar a la vez un teorema y su contrario.

Un método parece afirmativo si las razones que lo impusieron son desconocidas. Y lo mejor para hacer comprensible la función que desempeña la axiomática es, pues, en primer lugar, exponer inicialmente las fallas que se intenta remediar (capítulo I). Más razonablemente se duda que la axiomática haya alcanzado desde un primer momento su perfección. En rigor, las exigencias que la hicieron nacer fueron, en su turno, como exasperadas por su uso y se volcaron sobre ella para empujarla cada vez más lejos en la ruta con la cual se había comprometido. Sin seguir detalladamente esta transformación histórica en forma detallada, se hace necesario distinguir al menos dos etapas mayores de su desarrollo.

Euclides y sus continuadores hasta el siglo XIX silenciaron por lo general tales propiedades empleándolas, no obstante, a cada paso, pues la figura las sugería suficientemente. Queda claro que un método riguroso no puede permitir que la intuición se emplee continuamente como un recurso, sino que demanda que todas las propiedades supuestas se enuncien claramente como proposiciones, aquellas que queden demostradas serán consideradas como teoremas y las restantes aumentarán el número de los postulados.

Al lado de los postulados se colocan, por lo general, los axiomas para completar los principios de la geometría. Son el otro nombre que se da a las “nociones comunes” y a las definiciones de Euclides. ¿Desde el punto de vista de la lógica tal ordenamiento queda justificado?

La diferencia entre axioma y postulado ha sido, con frecuencia, poco clara. Comúnmente ambas expresiones fueron, y siguen siendo, tomadas indiferentemente una por otra. Prueba de esto es el mismo nombre de la axiomática que, sin duda, podría llamarse, con mayor precisión, postulática.

La pluralidad de geometrías existentes en la actualidad hace que no ocurra ahora lo mismo, dado que se pierde interés en la verdad material del contenido, y la validez de una geometría se hace descansar sobre la armazón lógica y cualquier falta hace que ésta se derrumbe, puesto que son violadas las reglas del juego si uno se apoya en la intuición.

Un sistema geométrico, aparte de la lógica, da por supuesto a la aritmética, pues para definir un triángulo es necesario utilizar el tres; asimismo, para demostrar que la suma de sus ángulos es igual a dos rectos, se hace necesario admitir la validez de los teoremas aritméticos relativos a la adición. En forma general, se denominará anteriores a un sistema axiomático a todos los conocimientos del sistema así llamado.

El estatuto lógico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a título de verdades generadoras de otras verdades, sino que sólo se les coloca a título de hipótesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican.

El fin que se persigue cuando se pone en forma axiomática una teoría deductiva es apartarla de las significaciones concretas e intuitivas sobre las que, en primer lugar, fue elaborada, y esto con el fin de hacer aparecer en forma clara el esquema lógico abstracto.

Si bien simbolización y formalización constituyen dos pasos diferentes y separables en la teoría, en realidad se encuentran muy estrechamente ligadas, puesto que la segunda es facilitada considerablemente por la primera, por lo que recurre a ella en forma casi irresistible.

La presentación lógica de las teorías deductivas tomó, hacia 1920, un nuevo giro, comprometiéndose con el camino de la formalización. Con el fin de sustraer la validez del sistema de toda apreciación subjetiva se impuso a partir de entonces la necesidad de enunciar en forma precisa y detallada, que no dé lugar a la casuística en las reglas de definición y demostración que rigen su construcción.

Una axiomática formalizada aparece de este modo como un conjunto de signos, unos que son propios a la teoría y otros que son anteriores, provistos del enunciado de las reglas que se aplicarán al manejo de tales signos. Con frecuencia estas reglas se dividen en dos grupos: las reglas de estructura, destinadas a la formación de las expresiones (en ellas pueden colocarse las reglas para hacer las definiciones) y las reglas de deducción (destinadas a las demostraciones). Las primeras siempre deben permitir reconocer sin disputa alguna si una expresión (ya sea o no proposicional) se encuentra bien formada y, de este modo, pertenece al sistema; las segundas, si una deducción está bien llevada y si, en consecuencia, su conclusión constituye un teorema del sistema.

La formulación axiomática de una teoría deductiva podría parecer que tenía un interés limitado. Entre los matemáticos, gran cantidad de ellos no veían en ella sino poco más que un procedimiento elegante de hacer una exposición, cuyo refinamiento era muy superfluo, casi una especie de juego intelectual apto sólo para satisfacer espíritus en exceso escrupulosos en lo que respecta al rigor lógico, pero que se encontraba al margen del trabajo científico y verdaderamente productivo.

Resultaría en extremo difícil medir con precisión la parte que le corresponde al método axiomático en el desarrollo de las matemáticas modernas. Más que de una causalidad bien orientada, indudablemente sería obligado hablar con frecuencia de acciones recurrentes o conjugadas. Toda teoría matemática, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, ha sido ya axiomatizada y, con frecuencia, en formas múltiples.

El orden tradicional,29 que repartía las disciplinas matemáticas de acuerdo con los objetos de estudio (aritmética, álgebra, análisis infinitesimal, geometría) parece en la actualidad tan superficial como el de las antiguas clasificaciones zoológicas que agrupaban a los animales de acuerdo con sus semejanzas exteriores (acuáticos, terrestres, aéreos) en lugar de basarse en las similitudes de su estructura. Se coordinan ahora teorías que tratan acerca de objetos muy diferentes pero que se encuentran dotados de propiedades formales análogas. La teoría de los números primos se halla muy cercana a la de las curvas algebraicas, la geometría euclidiana a las ecuaciones integrales simétricas. Y la subordinación se basa sobre la jerarquía de las estructuras, que van de las más simples y generales a las más complejas y más especiales.

La axiomática consiste en el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual también significa que toda puesta en forma deductiva encamina ya por la ruta de la axiomática. La costumbre de duplicar el lenguaje mediante el simbolismo matemático ha acostumbrado a los físicos desde hace mucho tiempo a distinguir no entre teorías con imágenes y teorías abstractas, como entre dos aspectos, uno concreto y otro simbólico de la misma teoría.

En primer lugar, la axiomática abre una de las vías posibles para resolver el problema que ha dominado, desde principios del siglo XX, toda la filosofía matemática, esto es, las bases mismas de esta ciencia. Este problema, que hasta entonces prácticamente no había preocupado a los matemáticos, les fue impuesto en forma brusca debido a la crisis que produjo la formulación de la teoría de los conjuntos.

Uno de los objetivos principales de la metamatemática de Hilbert es evitar el callejón sin salida, y salir de él sustituyendo mediante el razonamiento la intuición desfalleciente. La formalización de la axiomática requiere que pueda ser establecido, mediante la vía demostrativa y sin necesidad de apelar al sentimiento subjetivo de la evidencia, si un sistema de axiomas es congruente o no.

La antigua distinción entre ciencia racional y ciencia empírica, que constituye un lugar común de la epistemología desde los tiempos de Bacon, sin duda merece ser conservada, pero con la condición de que no se confundan ya en ella dos acepciones que sólo coinciden parcialmente y que la axiomática permite separar en forma precisa una de la otra.