EJERCICIOS DE AUTOAPRENDIZAJE

1.    Divide un segmento cualquiera en 4 partes iguales utilizando el teorema de tales. Sabrías hacerlo por otro procedimiento exacto.

2.    Divide un segmento cualquiera en 5 partes iguales utilizando el teorema de tales.

3.    Divide un segmento cualquiera en 3 partes proporcionales a 2, 3, 5 utilizando el teorema de tales.

4.    De las parejas de triángulos siguientes conocemos los lados, determina cuales son semejantes y cuáles no lo son

En caso afirmativo indica la razón de semejanza:

a)    40, 30, 50                      120, 90, 150

b)    7, 7, 7                            20, 20, 20

c)    50, 60, 70                       6, 7, 8

d)    10, 5, 15                         6, 3, 9

e)    40, 60, 70                       6, 9, 10

f)     3, 9, 3                             20, 40, 20

g)    60, 30, 60                        2, 4, 2

5.    Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determina en cada caso la razón de semejanza y los valores desconocidos:

a)    2, 4, 5         4, x, 10

b)    5, 8, 10       150, x, y

c)    30, 40, 50     x, 10, y

6.    Una persona mide 1.75m en el mismo instante en que la medida de su sombra es de 1m, la sombra de un edificio mide 25m. calcula la altura del edificio.

7.    Un rectángulo tiene una diagonal de 75m. calcula sus dimensiones sabiendo que es semejante a otro rectángulo de lados 36m y 48m.

8.    La razón de semejanza de dos figuras es 6 determina la relación de sus áreas. Si la pequeña mide 10 cm² calcula el área de la grande

9.    El área de un cuadrado es 81 cm². Calcula la longitud de otro cuadrado sabiendo que es más grande y la razón de semejanza es de 5

10. El volumen de una esfera es de 1000 cm3. Calcula el volumen de otra esfera que duplique el radio. V=4/3 π r³

11. Una escultura de 100 cm de altura pesa 2500 gr. ¿Cuánto pesará una reproducción del mismo material y de 220 cm de altura.

12. Una manguera de jardín tiene un radio de 1.2 cm. Queremos comprar otra manguera que tire el doble de agua. Calcule el radio que debe tener.

13. El área de dos círculos es 25 m² y 50 m². Calcula la razón de semejanza.

14. Si queremos dibujar una circunferencia de longitud 5 veces más grande que una circunferencia de radio 7 ¿Cuánto medirá el radio? ¿Cuánto medirá la longitud? ¿cuánto medirá el área?.

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CRITERIOS DE SEMEJANZA

Matemáticas 3er Grado

Bloque: 2

Eje:    Forma, Espacio y Medida

Tema: Formas Geométricas

Subtema: Semejanza

Conocimientos y habilidades:

Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados.   

Determinar  y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

Propósito: que el alumno vincule con los conocimientos que posee sobre proporcionalidad y semejanza, además que se dé cuenta de la relación que existe entre estos dos términos.

Figuras semejantes

A simple vista, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero su tamaño no es necesariamente igual.

Por ejemplo, los pentágonos de la figura son semejantes.

Propiedades de las figuras semejantes

(1) Sus ángulos homólogos son congruentes (tienen la misma medida).
(2) Sus lados homólogos son proporcionales.

Triángulos semejantes

Concepto de semejanza

Recuerda que dos triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño. Sin embargo, si dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales:

Ángulos correspondientes congruentes:

Lados correspondientes proporcionales:

La razón de semejanza se denomina k.

Entonces,    ABC ~   DEF  (triángulo ABC semejante al triángulo DEF)

Criterios de semejanza

Los criterios de semejanza constituyen las condiciones mínimas necesarias para establecer que dos triángulos son semejantes.

Criterio (L, L, L)

Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales.

Criterio (A, A, A)

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes.

Observación:
Como los ángulos del triángulo suman 180°, basta con determinar dos ángulos correspondientes congruentes para poder establecer la semejanza (criterio (A, A)).

 Criterio (L, A, L)

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes.

 

1)    Muestra, mediante los criterios de semejanza, que todos los triángulos equiláteros son semejantes.

2)    Demuestra que los triángulos ABC Y AED son semejantes. La recta que pasa por DE es paralela a BC.

3)    Calcula la longitud de X en las siguientes figuras, los segmentos rojos son paralelas.

                   a)

b)

                                     

4)    Encuentra el ancho del rio.

5)    Determina el ancho de la laguna.

HOMOTECIA

Matemáticas 3er Grado

Bloque: 3

Eje:    Forma, Espacio y Medida

Tema: Transformaciones

Subtema: Movimientos en el plano

Conocimientos y habilidades:

Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que -1.

Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura.

Propósito: Que el alumno entienda y comprenda la relación que existe entre el termino homotecia con la proporcionalidad de figuras.

Homotecia

Vamos a aplicarle al segmento AB una homotecia de razón r con centro en O (centro de homotecia). Los puntos C y D son los homotéticos de A y B. Como CO / AO = DO / BO = r, por el Teorema de Thales, los segmento AB y CD son paralelos; y además, los triángulos COD y AOB son semejantes. Entonces, CD / AB = r, o lo que es lo mismo, CD = r.AB

Para cualquier punto P del segmento AB, llamamos Q a la intersección de CD con la recta OP. Como las rectas AB y CD son paralelas, por el Teorema de Thales, QO / PO = CO / AO = r, entonces Q es homotético de P.

 

En definitiva, se puede ver que siempre la figura homotética de un segmento es otro segmento paralelo al original, cuya longitud es la del primero multiplicada por la razón de homotecia.

Para demostrar que la homotecia de un triángulo da por resultado otro triángulo, semejante al original, basta hacer la homotecia por separado a los tres segmentos que forman sus lados.

Más general aún, se puede demostrar de una forma parecida, que al hacer la homotecia de un polígono se obtiene otro polígono semejante al original, donde la razón de semejanza es igual a la razón de la homotecia.

Si el centro de homotecia está situado entre las dos figuras homotéticas, la razón de homotecia es negativa.

Razón de homotecia positiva

Razón de homotecia negativa

1)    Traza en tu cuaderno un triangulo cuyos lados midan 4, 5.5 y 7 cm respectivamente:

a) Construye un triángulo homotético al que trazaste en la razón de 1:2.

b) Elabora un triángulo homotético al que trazaste en la razón de 1: -2.

c) Anota tus conclusiones: __________________________________

2)    Construye una figura homotética a la siguiente; la razón de homotecia debe ser 1:3.

TEOREMA DE TALES

Matemáticas 3er Grado

Bloque: 3

Eje:    Forma, Espacio y Medida

Tema: Formas Geométricas

Subtema: Semejanza

Conocimientos y habilidades:

Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmento.

Propósito: que el alumno vincule con los conocimientos que posee sobre proporcionalidad y semejanza.

TEOREMA DE TALES

En las construcciones arquitectónicas, las formas geométricas desempeñan un papel importante, no sólo por su utilidad sino también por su estética.

Jóvenes, la Geometría es una rama de las Matemáticas que se encarga de estudiar las figuras, el espacio o los cuerpos que se pueden formar por medio de trazos, como los que ustedes ya saben hacer, utilizando los instrumentos geométricos de medición; cabe mencionar que ésta ciencia, es decir, la Geometría, nace hacia el año 4000 a.C. con los egipcios y los babilonios, quienes las utilizaban para hacer sus grandes construcciones que nosotros ya conocemos, como sus majestuosas pirámides por decir un ejemplo.

EL TEOREMA DE TALES NOS DICE:

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

 El teorema de Tales se puede aplicar para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide. 

1)    Copia los siguientes segmentos en tu cuaderno y divídelos en tres partes iguales usando la regla  y compás.

2)    Traza, con regla y compás, un triángulo equilátero cuyo lado mida 8 centímetros.

a)    Divide cada lado en tres partes iguales con el procedimiento expuesto en la lección.

b)    Une, mediante líneas paralelas a los lados, los puntos que determinan las tres partes iguales de cada lado y localiza los vértices de un hexágono regular

.

3)    Traza un segmento de recta de longitud 9.5 cm; traza sobre él un ángulo de 50^o. Toma el  otro lado del ángulo como auxiliar y divide el segmento original en cuatro partes iguales. Calcula cuánto mide cada segmento, si es la cuarta parte del original.

4)    Divide un cuadrado de lado 7cm en 9 cuadrados iguales; usa sólo regla y compás.