HOMOTECIA

Matemáticas 3er Grado

Bloque: 3

Eje:    Forma, Espacio y Medida

Tema: Transformaciones

Subtema: Movimientos en el plano

Conocimientos y habilidades:

Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que -1.

Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura.

Propósito: Que el alumno entienda y comprenda la relación que existe entre el termino homotecia con la proporcionalidad de figuras.

Homotecia

Vamos a aplicarle al segmento AB una homotecia de razón r con centro en O (centro de homotecia). Los puntos C y D son los homotéticos de A y B. Como CO / AO = DO / BO = r, por el Teorema de Thales, los segmento AB y CD son paralelos; y además, los triángulos COD y AOB son semejantes. Entonces, CD / AB = r, o lo que es lo mismo, CD = r.AB

Para cualquier punto P del segmento AB, llamamos Q a la intersección de CD con la recta OP. Como las rectas AB y CD son paralelas, por el Teorema de Thales, QO / PO = CO / AO = r, entonces Q es homotético de P.

 

En definitiva, se puede ver que siempre la figura homotética de un segmento es otro segmento paralelo al original, cuya longitud es la del primero multiplicada por la razón de homotecia.

Para demostrar que la homotecia de un triángulo da por resultado otro triángulo, semejante al original, basta hacer la homotecia por separado a los tres segmentos que forman sus lados.

Más general aún, se puede demostrar de una forma parecida, que al hacer la homotecia de un polígono se obtiene otro polígono semejante al original, donde la razón de semejanza es igual a la razón de la homotecia.

Si el centro de homotecia está situado entre las dos figuras homotéticas, la razón de homotecia es negativa.

Razón de homotecia positiva

Razón de homotecia negativa

1)    Traza en tu cuaderno un triangulo cuyos lados midan 4, 5.5 y 7 cm respectivamente:

a) Construye un triángulo homotético al que trazaste en la razón de 1:2.

b) Elabora un triángulo homotético al que trazaste en la razón de 1: -2.

c) Anota tus conclusiones: __________________________________

2)    Construye una figura homotética a la siguiente; la razón de homotecia debe ser 1:3.