EJERCICIOS DE AUTOAPRENDIZAJE

1.    Divide un segmento cualquiera en 4 partes iguales utilizando el teorema de tales. Sabrías hacerlo por otro procedimiento exacto.

2.    Divide un segmento cualquiera en 5 partes iguales utilizando el teorema de tales.

3.    Divide un segmento cualquiera en 3 partes proporcionales a 2, 3, 5 utilizando el teorema de tales.

4.    De las parejas de triángulos siguientes conocemos los lados, determina cuales son semejantes y cuáles no lo son

En caso afirmativo indica la razón de semejanza:

a)    40, 30, 50                      120, 90, 150

b)    7, 7, 7                            20, 20, 20

c)    50, 60, 70                       6, 7, 8

d)    10, 5, 15                         6, 3, 9

e)    40, 60, 70                       6, 9, 10

f)     3, 9, 3                             20, 40, 20

g)    60, 30, 60                        2, 4, 2

5.    Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determina en cada caso la razón de semejanza y los valores desconocidos:

a)    2, 4, 5         4, x, 10

b)    5, 8, 10       150, x, y

c)    30, 40, 50     x, 10, y

6.    Una persona mide 1.75m en el mismo instante en que la medida de su sombra es de 1m, la sombra de un edificio mide 25m. calcula la altura del edificio.

7.    Un rectángulo tiene una diagonal de 75m. calcula sus dimensiones sabiendo que es semejante a otro rectángulo de lados 36m y 48m.

8.    La razón de semejanza de dos figuras es 6 determina la relación de sus áreas. Si la pequeña mide 10 cm² calcula el área de la grande

9.    El área de un cuadrado es 81 cm². Calcula la longitud de otro cuadrado sabiendo que es más grande y la razón de semejanza es de 5

10. El volumen de una esfera es de 1000 cm3. Calcula el volumen de otra esfera que duplique el radio. V=4/3 π r³

11. Una escultura de 100 cm de altura pesa 2500 gr. ¿Cuánto pesará una reproducción del mismo material y de 220 cm de altura.

12. Una manguera de jardín tiene un radio de 1.2 cm. Queremos comprar otra manguera que tire el doble de agua. Calcule el radio que debe tener.

13. El área de dos círculos es 25 m² y 50 m². Calcula la razón de semejanza.

14. Si queremos dibujar una circunferencia de longitud 5 veces más grande que una circunferencia de radio 7 ¿Cuánto medirá el radio? ¿Cuánto medirá la longitud? ¿cuánto medirá el área?.

slideshare

CRITERIOS DE SEMEJANZA

Matemáticas 3er Grado

Bloque: 2

Eje:    Forma, Espacio y Medida

Tema: Formas Geométricas

Subtema: Semejanza

Conocimientos y habilidades:

Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados.   

Determinar  y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

Propósito: que el alumno vincule con los conocimientos que posee sobre proporcionalidad y semejanza, además que se dé cuenta de la relación que existe entre estos dos términos.

Figuras semejantes

A simple vista, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero su tamaño no es necesariamente igual.

Por ejemplo, los pentágonos de la figura son semejantes.

Propiedades de las figuras semejantes

(1) Sus ángulos homólogos son congruentes (tienen la misma medida).
(2) Sus lados homólogos son proporcionales.

Triángulos semejantes

Concepto de semejanza

Recuerda que dos triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño. Sin embargo, si dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales:

Ángulos correspondientes congruentes:

Lados correspondientes proporcionales:

La razón de semejanza se denomina k.

Entonces,    ABC ~   DEF  (triángulo ABC semejante al triángulo DEF)

Criterios de semejanza

Los criterios de semejanza constituyen las condiciones mínimas necesarias para establecer que dos triángulos son semejantes.

Criterio (L, L, L)

Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales.

Criterio (A, A, A)

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes.

Observación:
Como los ángulos del triángulo suman 180°, basta con determinar dos ángulos correspondientes congruentes para poder establecer la semejanza (criterio (A, A)).

 Criterio (L, A, L)

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes.

 

1)    Muestra, mediante los criterios de semejanza, que todos los triángulos equiláteros son semejantes.

2)    Demuestra que los triángulos ABC Y AED son semejantes. La recta que pasa por DE es paralela a BC.

3)    Calcula la longitud de X en las siguientes figuras, los segmentos rojos son paralelas.

                   a)

b)

                                     

4)    Encuentra el ancho del rio.

5)    Determina el ancho de la laguna.

HOMOTECIA

Matemáticas 3er Grado

Bloque: 3

Eje:    Forma, Espacio y Medida

Tema: Transformaciones

Subtema: Movimientos en el plano

Conocimientos y habilidades:

Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que -1.

Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura.

Propósito: Que el alumno entienda y comprenda la relación que existe entre el termino homotecia con la proporcionalidad de figuras.

Homotecia

Vamos a aplicarle al segmento AB una homotecia de razón r con centro en O (centro de homotecia). Los puntos C y D son los homotéticos de A y B. Como CO / AO = DO / BO = r, por el Teorema de Thales, los segmento AB y CD son paralelos; y además, los triángulos COD y AOB son semejantes. Entonces, CD / AB = r, o lo que es lo mismo, CD = r.AB

Para cualquier punto P del segmento AB, llamamos Q a la intersección de CD con la recta OP. Como las rectas AB y CD son paralelas, por el Teorema de Thales, QO / PO = CO / AO = r, entonces Q es homotético de P.

 

En definitiva, se puede ver que siempre la figura homotética de un segmento es otro segmento paralelo al original, cuya longitud es la del primero multiplicada por la razón de homotecia.

Para demostrar que la homotecia de un triángulo da por resultado otro triángulo, semejante al original, basta hacer la homotecia por separado a los tres segmentos que forman sus lados.

Más general aún, se puede demostrar de una forma parecida, que al hacer la homotecia de un polígono se obtiene otro polígono semejante al original, donde la razón de semejanza es igual a la razón de la homotecia.

Si el centro de homotecia está situado entre las dos figuras homotéticas, la razón de homotecia es negativa.

Razón de homotecia positiva

Razón de homotecia negativa

1)    Traza en tu cuaderno un triangulo cuyos lados midan 4, 5.5 y 7 cm respectivamente:

a) Construye un triángulo homotético al que trazaste en la razón de 1:2.

b) Elabora un triángulo homotético al que trazaste en la razón de 1: -2.

c) Anota tus conclusiones: __________________________________

2)    Construye una figura homotética a la siguiente; la razón de homotecia debe ser 1:3.

TEOREMA DE TALES

Matemáticas 3er Grado

Bloque: 3

Eje:    Forma, Espacio y Medida

Tema: Formas Geométricas

Subtema: Semejanza

Conocimientos y habilidades:

Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmento.

Propósito: que el alumno vincule con los conocimientos que posee sobre proporcionalidad y semejanza.

TEOREMA DE TALES

En las construcciones arquitectónicas, las formas geométricas desempeñan un papel importante, no sólo por su utilidad sino también por su estética.

Jóvenes, la Geometría es una rama de las Matemáticas que se encarga de estudiar las figuras, el espacio o los cuerpos que se pueden formar por medio de trazos, como los que ustedes ya saben hacer, utilizando los instrumentos geométricos de medición; cabe mencionar que ésta ciencia, es decir, la Geometría, nace hacia el año 4000 a.C. con los egipcios y los babilonios, quienes las utilizaban para hacer sus grandes construcciones que nosotros ya conocemos, como sus majestuosas pirámides por decir un ejemplo.

EL TEOREMA DE TALES NOS DICE:

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

 El teorema de Tales se puede aplicar para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide. 

1)    Copia los siguientes segmentos en tu cuaderno y divídelos en tres partes iguales usando la regla  y compás.

2)    Traza, con regla y compás, un triángulo equilátero cuyo lado mida 8 centímetros.

a)    Divide cada lado en tres partes iguales con el procedimiento expuesto en la lección.

b)    Une, mediante líneas paralelas a los lados, los puntos que determinan las tres partes iguales de cada lado y localiza los vértices de un hexágono regular

.

3)    Traza un segmento de recta de longitud 9.5 cm; traza sobre él un ángulo de 50^o. Toma el  otro lado del ángulo como auxiliar y divide el segmento original en cuatro partes iguales. Calcula cuánto mide cada segmento, si es la cuarta parte del original.

4)    Divide un cuadrado de lado 7cm en 9 cuadrados iguales; usa sólo regla y compás.

LA CALCULADORA

Una calculadora es un dispositivo que se utiliza para realizar cálculos aritméticos. Aunque las calculadoras modernas incorporan a menudo un ordenador de propósito general, se diseñan para realizar ciertas operaciones más que para ser flexibles.

¿Cuándo se inventó la calculadora? En 1642, Blaise Pascal desarrolló una calculadora mecánica para facilitarle el trabajo a su padre, un funcionario fiscal. El matemático y científico británico Charles Babbage en 1833, construye la llamada máquina analítica, máquina calculadora mecánica, aunque sólo se construyó una pequeña parte. Es en 1972 que se introdujo la primera calculadora científica de bolsillo del mundo, por los científicos Kilby y Merryman de nacionalidad americana.

La calculadora está presente en el currículum oficial de Educación Primaria y Secundaria dentro del bloque de números, como contenido tanto conceptual (conocimiento de las reglas de uso), como procedimental (utilización de la calculadora) y como actitudinal (confianza en el uso de la calculadora).

En el pasado, se utilizaban como apoyo al trabajo numérico ábacos, comptómetros, ábacos neperianos, tablas matemáticas, reglas de cálculo y máquinas de sumar. El término «calculador» se usaba para aludir a la persona que ejercía este trabajo, ayudándose también de papel y lápiz. Este proceso de cálculo semimanual era tedioso y proclive a errores. Actualmente, las calculadoras son electrónicas y son fabricadas por numerosas empresas en tamaños y formas variados.

Algunos padres y educadores, que se resisten a la incorporación temprana de la calculadora basan sus creencias, fundamentalmente, en mitos muy difundidos, tales como:

1º) Que la calculadora no desarrolla el razonamiento matemático, puesto que para utilizarla basta con seguir exactamente las instrucciones de funcionamiento.

 2º) Que la calculadora limita la adquisición de las habilidades de cálculo numérico de los alumnos.

Sin embargo, mucho se ha escrito y hablado a propósito del papel positivo que debe jugar la calculadora debido a su influencia en el desarrollo del pensamiento matemático. Como se ha demostrado que, los alumnos habituados a usar la calculadora mejoran su actitud hacia la Matemática, las destrezas de cálculo, la comprensión de los conceptos y la resolución de problemas.

Las calculadoras gráficas son herramientas de enseñanza diseñadas para ayudar a los estudiantes a visualizar y entender mejor los conceptos relacionados a matemáticas y ciencias.  Estas herramientas permiten que el estudiante  entienda cómo las distintas materias del currículo escolar se relacionan al mundo real.   Las calculadoras gráficas promueven el pensamiento crítico y ayudan a los estudiantes a adquirir destrezas en resolución  de problemas.

 ¿Cuáles son los beneficios de las calculadoras gráficas? 

 Las calculadoras gráficas  poseen aplicaciones que pueden ser actualizadas constantemente y sirven de apoyo a los estudiantes desde la educación secundaria hasta la educación universitaria,   proveyendo un inmenso valor y longevidad de uso. No es sólo una inversión en tecnología, sino también una inversión en el desarrollo de las habilidades y destrezas de los estudiantes, el entendimiento  y buen rendimiento en las áreas de  matemáticas y ciencias beneficiarán a los estudiantes independientemente de la carrera que elijan estudiar.

 Las calculadoras gráficas son utilizadas en distintas clases de matemáticas y ciencias tales como: álgebra, geometría, biología, estadísticas, pre-cálculo,  cálculo, etc., y son recomendadas por profesores a nivel mundial. Las calculadoras no “entienden” matemática pero facilitan considerablemente la comprensión de la matemática.

LA AXIOMÁTICA

Un sistema formal axiomático, está constituido por un conjunto de proposiciones llamadas tesis del sistema, de las que unas son los axiomas y otras los teoremas.

Son las proposiciones básicas del sistema. Axioma viene del griego αξιωματα que significa dignidades. Son las proposiciones más dignas, las primeras. Así las bautizó Euclides en sus Elementos. Antiguamente estos axiomas eran evidentes; es decir, su verdad se imponía inmediatamente a la mente. Son los llamados axiomas materiales.

En la actualidad, sin embargo, los axiomas se enuncian como axiomas formales, como proposiciones cuya verdad no se plantea como problema, pero que se establecen como fundamento de todas las demás proposiciones del sistema formal axiomático.

Para hacernos una idea adecuada del sistema formal axiomático, pondremos como ejemplo, el del juego de ajedrez. Los axiomas son las reglas del juego, de las que no se pueden salir los jugadores, y, por tanto, en los sistemas formales axiomáticos, los axiomas deben quedar bien establecidos para que se puedan deducir los teoremas con ausencia de contradicción.

Los teoremas

Son las proposiciones o tesis del sistema formal axiomático que se demuestran a partir de los axiomas, o a partir de otros teoremas ya demostrados.

Estructura de un sistema formal axiomático

  Parte morfológica

1. Un conjunto de componentes primitivos.
2. Un conjunto de operaciones relativas a tales componentes.
3. Un conjunto de reglas de formación expresivas de cómo a partir de los componentes primitivos se pueden construir nuevos componentes llamados derivados.

  Parte axiomática

1. Un conjunto de axiomas.
2. Un conjunto de definiciones.
3. Un conjunto de reglas o criterios de deducción.
4. Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en los tres conjuntos anteriores.

Euclides construyó su geometría, una geometría que resistió el paso de dos mil años, utilizando un método de trabajo especialmente acertado: el método axiomático. Euclides empezaba por enunciar una serie de verdades que le parecían evidentes por sí mismas y que aceptaba sin demostración previa. Por ejemplo que por dos puntos pasa siempre una recta, o que dos rectas no paralelas se cortan siempre en un solo punto. Una vez aceptados estos presupuestos básicos, las únicas reglas del razonamiento le proporcionaban todo lo demás. A partir de los enunciados primitivos, de los axiomas, se iban encadenando una tras otra las deducciones que se desprendían de ellos, eran los teoremas. Por supuesto, la elección de los axiomas en cierto sentido arbitraria, puede partirse de un cierto conjunto de enunciados o de otro conjunto distinto. Lo que en verdad importa es que se respeten las reglas deductivas y se mantenga el entramado total en toda su complejidad. El método de trabajo de la matemática moderna es semejante al de Euclides, sólo que más perfecto y acabado. Supongamos que queremos edificar una teoría matemática, por ejemplo la teoría de conjuntos. Empezaremos por definir una serie de axiomas que nos aclaren lo que entendemos por los conjuntos, luego nos pondremos a deducir de acuerdo con las reglas del juego, y ésta será nuestra teoría de conjuntos. Eligiendo los axiomas con cuidado no hay que temer a la antinomias; precisamente los axiomas se pensarán de tal manera que las antinomias no puedan aparecer. Ésta es la ventaja de una teoría formalizada frente a una intuitiva. Lo único que se le pide a este juego lógico es que no nos lleve a contradicciones, es decir, que no podamos probar a la vez, a partir de los axiomas un teorema y su negación. Un sistema de axiomas es consistente cuando no es posible probar a la vez un teorema y su contrario.

Un método parece afirmativo si las razones que lo impusieron son desconocidas. Y lo mejor para hacer comprensible la función que desempeña la axiomática es, pues, en primer lugar, exponer inicialmente las fallas que se intenta remediar (capítulo I). Más razonablemente se duda que la axiomática haya alcanzado desde un primer momento su perfección. En rigor, las exigencias que la hicieron nacer fueron, en su turno, como exasperadas por su uso y se volcaron sobre ella para empujarla cada vez más lejos en la ruta con la cual se había comprometido. Sin seguir detalladamente esta transformación histórica en forma detallada, se hace necesario distinguir al menos dos etapas mayores de su desarrollo.

Euclides y sus continuadores hasta el siglo XIX silenciaron por lo general tales propiedades empleándolas, no obstante, a cada paso, pues la figura las sugería suficientemente. Queda claro que un método riguroso no puede permitir que la intuición se emplee continuamente como un recurso, sino que demanda que todas las propiedades supuestas se enuncien claramente como proposiciones, aquellas que queden demostradas serán consideradas como teoremas y las restantes aumentarán el número de los postulados.

Al lado de los postulados se colocan, por lo general, los axiomas para completar los principios de la geometría. Son el otro nombre que se da a las “nociones comunes” y a las definiciones de Euclides. ¿Desde el punto de vista de la lógica tal ordenamiento queda justificado?

La diferencia entre axioma y postulado ha sido, con frecuencia, poco clara. Comúnmente ambas expresiones fueron, y siguen siendo, tomadas indiferentemente una por otra. Prueba de esto es el mismo nombre de la axiomática que, sin duda, podría llamarse, con mayor precisión, postulática.

La pluralidad de geometrías existentes en la actualidad hace que no ocurra ahora lo mismo, dado que se pierde interés en la verdad material del contenido, y la validez de una geometría se hace descansar sobre la armazón lógica y cualquier falta hace que ésta se derrumbe, puesto que son violadas las reglas del juego si uno se apoya en la intuición.

Un sistema geométrico, aparte de la lógica, da por supuesto a la aritmética, pues para definir un triángulo es necesario utilizar el tres; asimismo, para demostrar que la suma de sus ángulos es igual a dos rectos, se hace necesario admitir la validez de los teoremas aritméticos relativos a la adición. En forma general, se denominará anteriores a un sistema axiomático a todos los conocimientos del sistema así llamado.

El estatuto lógico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a título de verdades generadoras de otras verdades, sino que sólo se les coloca a título de hipótesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican.

El fin que se persigue cuando se pone en forma axiomática una teoría deductiva es apartarla de las significaciones concretas e intuitivas sobre las que, en primer lugar, fue elaborada, y esto con el fin de hacer aparecer en forma clara el esquema lógico abstracto.

Si bien simbolización y formalización constituyen dos pasos diferentes y separables en la teoría, en realidad se encuentran muy estrechamente ligadas, puesto que la segunda es facilitada considerablemente por la primera, por lo que recurre a ella en forma casi irresistible.

La presentación lógica de las teorías deductivas tomó, hacia 1920, un nuevo giro, comprometiéndose con el camino de la formalización. Con el fin de sustraer la validez del sistema de toda apreciación subjetiva se impuso a partir de entonces la necesidad de enunciar en forma precisa y detallada, que no dé lugar a la casuística en las reglas de definición y demostración que rigen su construcción.

Una axiomática formalizada aparece de este modo como un conjunto de signos, unos que son propios a la teoría y otros que son anteriores, provistos del enunciado de las reglas que se aplicarán al manejo de tales signos. Con frecuencia estas reglas se dividen en dos grupos: las reglas de estructura, destinadas a la formación de las expresiones (en ellas pueden colocarse las reglas para hacer las definiciones) y las reglas de deducción (destinadas a las demostraciones). Las primeras siempre deben permitir reconocer sin disputa alguna si una expresión (ya sea o no proposicional) se encuentra bien formada y, de este modo, pertenece al sistema; las segundas, si una deducción está bien llevada y si, en consecuencia, su conclusión constituye un teorema del sistema.

La formulación axiomática de una teoría deductiva podría parecer que tenía un interés limitado. Entre los matemáticos, gran cantidad de ellos no veían en ella sino poco más que un procedimiento elegante de hacer una exposición, cuyo refinamiento era muy superfluo, casi una especie de juego intelectual apto sólo para satisfacer espíritus en exceso escrupulosos en lo que respecta al rigor lógico, pero que se encontraba al margen del trabajo científico y verdaderamente productivo.

Resultaría en extremo difícil medir con precisión la parte que le corresponde al método axiomático en el desarrollo de las matemáticas modernas. Más que de una causalidad bien orientada, indudablemente sería obligado hablar con frecuencia de acciones recurrentes o conjugadas. Toda teoría matemática, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, ha sido ya axiomatizada y, con frecuencia, en formas múltiples.

El orden tradicional,29 que repartía las disciplinas matemáticas de acuerdo con los objetos de estudio (aritmética, álgebra, análisis infinitesimal, geometría) parece en la actualidad tan superficial como el de las antiguas clasificaciones zoológicas que agrupaban a los animales de acuerdo con sus semejanzas exteriores (acuáticos, terrestres, aéreos) en lugar de basarse en las similitudes de su estructura. Se coordinan ahora teorías que tratan acerca de objetos muy diferentes pero que se encuentran dotados de propiedades formales análogas. La teoría de los números primos se halla muy cercana a la de las curvas algebraicas, la geometría euclidiana a las ecuaciones integrales simétricas. Y la subordinación se basa sobre la jerarquía de las estructuras, que van de las más simples y generales a las más complejas y más especiales.

La axiomática consiste en el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual también significa que toda puesta en forma deductiva encamina ya por la ruta de la axiomática. La costumbre de duplicar el lenguaje mediante el simbolismo matemático ha acostumbrado a los físicos desde hace mucho tiempo a distinguir no entre teorías con imágenes y teorías abstractas, como entre dos aspectos, uno concreto y otro simbólico de la misma teoría.

En primer lugar, la axiomática abre una de las vías posibles para resolver el problema que ha dominado, desde principios del siglo XX, toda la filosofía matemática, esto es, las bases mismas de esta ciencia. Este problema, que hasta entonces prácticamente no había preocupado a los matemáticos, les fue impuesto en forma brusca debido a la crisis que produjo la formulación de la teoría de los conjuntos.

Uno de los objetivos principales de la metamatemática de Hilbert es evitar el callejón sin salida, y salir de él sustituyendo mediante el razonamiento la intuición desfalleciente. La formalización de la axiomática requiere que pueda ser establecido, mediante la vía demostrativa y sin necesidad de apelar al sentimiento subjetivo de la evidencia, si un sistema de axiomas es congruente o no.

La antigua distinción entre ciencia racional y ciencia empírica, que constituye un lugar común de la epistemología desde los tiempos de Bacon, sin duda merece ser conservada, pero con la condición de que no se confundan ya en ella dos acepciones que sólo coinciden parcialmente y que la axiomática permite separar en forma precisa una de la otra.

 

HISTORIA Y FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS

Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.

La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la capacidad de abstracción del hombre o como una expansión de la materia estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también por muchos animales, fueron probablemente los números. Esta noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban.

Desde el comienzo de la historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los impuestos y el comercio, comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los eventos astronómicos. Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas — la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Desde entonces, las matemáticas han tenido un profuso desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia, en beneficio de ambas. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad.

Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades, las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (ð), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416.



Los babilonios tallaron tablillas con varias cuñas (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como lo hacían los egipcios y los romanos. Pero el 60, era representado con el símbolo del 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en la cifra completa. Esta manera de expresar números, fue ampliado a la representación de fracciones. Posteriormente este sistema fue denominado sexagesimal.

Tiempo más tarde, los babilonios desarrollaron matemáticas más sofisticadas, lo cual les permitió encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. También lograron encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Fueron capaces de recopilar gran cantidad de tablas, como las de multiplicar, de dividir, de cuadrados y hasta las de interés compuesto. Calcularon la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, pero también de sucesiones de cuadrados. Aunque también obtuvieron una buena aproximación de la raíz cuadrada.

Uno de los grupos más innovadores en la historia de las matemáticas fueron los egipcios, quienes inventaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Los descubridores egipcios más importantes fueron Tales de Mileto y Pitágoras de Samos, quien explicó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.

Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (h. 639 - h. 547/6 a. C. ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras. Fue además uno de los más grandes astrónomos y matemáticos de su época.

Sus estudios abarcaron profundamente el área de la geometría, álgebra lineal, geometría del espacio y algunas ramas de la física, tales como la estática, la dinámica y la óptica. Su vida está envuelta en un halo de leyenda.

Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. Ha de haber, pues, alguna naturaleza, sea una o más de una, a partir de la cual todo lo demás se genera, conservándose aquélla.

Tal vez llegó a esta concepción tras observar que todas las cosas tienen un elemento húmedo y que el calor se produce y se mantiene en la humedad (ya que aquello a partir de lo cual se generan las cosas es el principio de todas ellas). Por eso llegó a esta concepción y también porque todas las simientes son de naturaleza húmeda y el agua es el principio natural de las cosas húmedas."

 Escuela Pitagórica

Se le conoce con este nombre al amplio movimiento filosófico de origen presocrático basado en las doctrinas atribuidas a Pitágoras de Samos y sus discípulos más inmediatos. El pitagorismo propiamente dicho es el movimiento de investigación filosófica, matemática y mística  desarrollado durante el siglo V a.C. por los discípulos de Pitágoras, aunque como tal  movimiento  se inicio ya a partir de la primitiva secta-místico-religiosa fundada por Pitágoras en el siglo  VI a.C. y , posteriormente, continuó durante varios siglos  bajo la forma de neopitagorismo. Debe entenderse por pitagorismo el conjunto  del pensamiento de lo que Aristóteles llama pitagóricos, reconociendo en este autor la autoridad y el conocimiento suficiente como para ceñirnos  a la descripción que él nos ofrece. Entendido el mismo cultivo de las matemáticas como el camino de purificación moral. Concibe la naturaleza a partir de relaciones numéricas y, además el numero es para ellos el principio o arkhé y la materia de las cosas. Principales autores de la doctrina pitagórica, Hipaso De Metaponto, Ecfanto, Hicetas, Filolao, Arquitas De Tarento.

La filosofía de Pitágoras se desarrolla en una doble vertiente: una místico-religiosa y otra matemático-científica.

Por lo que respecta a la primera, el eje central está representado por la teoría de la trasmigración de las almas y la consecuente afirmación del parentesco entre todos los seres vivos. Según ella, las almas son entidades inmortales que se ven obligadas a permanecer en cuerpos reencarnándose sucesivamente pasando de unos a otros durante un periodo de tiempo indeterminado, hasta superar el proceso de reencarnaciones gracias a la purificación (catarsis), que culmina en el regreso del alma a su lugar de origen. Para ello, era necesario observar numerosas reglas de purificación, por ejemplo, la abstinencia de la carne, así como diversas normas rituales y morales. Esta teoría será adaptada posteriormente por Platón, constituyendo un elemento importante de su filosofía.

Respecto a la vertiente matemático-científica, Pitágoras afirmaba que los números eran el principio de todas las cosas.

No sabemos si se concebían los números como entidades físicas o si, por el contrario, se afirmaba que el principio de la realidad era algo de carácter formal, es decir, no material (una relación, una estructura...). Aristóteles pensaba que la doctrina pitagórica del número se basaba en descubrimientos empíricos; por ejemplo, el hecho de que los intervalos musicales puedan expresarse numéricamente. (De hecho los pitagóricos concedieron una gran importancia al estudio de la música, vista su relación con las matemáticas. Esta relación la pudieron ir ampliando al resto de objetos que constituyen la realidad, descubriendo en el número la razón de todo lo real, lo que llevaría a convertirlo en el "arjé" de los  milesios.) Parece, además, que los pitagóricos concibieron los números espacialmente, identificando el punto geométrico con la unidad aritmética. Las unidades tendrían, pues, extensión espacial y podrían ser consideradas, como dice Aristóteles, como el elemento material de las cosas.

Es dudoso que los pitagóricos hayan podido interpretar el número como una realidad de carácter formal o como una estructura de la realidad, es decir, como algo no material, dado que la aparición clara de la concepción de una realidad no material difícilmente puede anticiparse a la reflexión platónica sobre el tema. No obstante, pese a las explicaciones de Aristóteles, tampoco queda muy claro cómo podría interpretarse el número como una entidad material. También en su vertiente matemática influirán en Platón los pitagóricos.

Parménides de Elea (en griego Παρμενίδης ὁ Ἐλεάτης) fue un filósofo griego. Nació entre el 530 a. C. y el 515 a. C. en la ciudad de Elea, colonia griega del sur de Magna Grecia (Italia), ciudad que le debió también su legislación.

Parménides escribió una sola obra, un poema en verso épico, del cual nos han llegado fragmentos conservados en citas de otros autores. Los especialistas consideran que la integridad de lo que conservamos es notablemente mayor en comparación con lo que nos ha llegado de las obras de casi todos los restantes filósofos presocráticos, y por ello su doctrina puede ser reconstruida con mayor precisión.

Los Tres Problemas Geométricos Más Famosos De La Antigüedad

Vale la pena de hablar de los tres problemas que más preocuparon a los griegos desde que aquella ciencia empezó a Construirse racionalmente. Estos tres problemas son: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo, que los griegos no supieron resolver. La única ventaja que tenemos sobre ellos es la de saber por qué son irresolubles. Como dichos problemas han trastornado a tantas cabezas de aficionados a la Matemática y todavía existe una pintoresca fauna de locos inofensivos que cree haberlos resuelto, conviene precisar lo que quiere decir “resolver un problema” que es, precisamente, lo que no saben los pobres  ilusos que se caracterizan tanto por su ignorancia de Matemática actual y de la historia de esta ciencia como la testaruda resistencia pasiva que oponen a todo intento para convencerles de su error.

1) Duplicación del Cubo:

El de la duplicación del cubo tiene un origen fabuloso y constituye el tema de una carta de Eratóstenes al rey Ptolomeo, que dice así: “Cuéntase que uno de los antiguos poetas trágicos hacía aparecer en escena a Minos en el momento en que se construía la tumba de Glauco, y, al observar que sólo medía cien pies por cada lado, dijo: “Es un espacio muy pequeño para sepulcro de un rey; duplicadla conservando su forma cúbica, duplicando cada lado”. Es evidente que se equivocaba porque duplicando los lados de una figura plana se cuadruplica, mientras que una sólida se octuplica; y entonces, se propuso a los geómetras la cuestión de duplicar una figura sólida dada conservando su forma, y este problema se llamó duplicación del cubo. Después de un largo período de incertidumbre, Hipócrates de Quío encontró que si entre dos rectas, una de las cuales es doble de la otra, se insertan dos medias en proporción continua, el cubo quedará doblado, con lo que no hizo sino transformar la dificultad en otra no menor. Se cuenta también que, más tarde, los de Delos, obligados por el oráculo a duplicar el altar, tropezaron con la misma dificultad y entonces enviaron embajadores a los geómetras que, con Platón, frecuentaban la Academia, para que resolvieran la cuestión. Se ocuparon de ella diligentemente y se dice que, al proponerse insertar dos medias entre dos rectas, lo consiguieron Arquitas de Tarento con el semicírculo y Eudoxio mediante ciertas curvas. A estos siguieron otros que se esforzaron por hacer más perfectas las demostraciones; pero no pudieron efectuar la construcción y acomodarla a la práctica, excepto, acaso, Menecmo, y cón gran trabajo”.

En este importante documento hist6rico, Eratóstenes se hace eco de dos fábulas: una toma como punto de partida la escena en que Eurípides hace cometer al legendario rey de Creta, ante la tumba de su hijo, el error de decir que duplicando la arista de un cubo se duplica su volumen, error que corrige Eratóstenes haciendo observar que duplicando los lados de una “figura plana” —el cuadrado— se cuadruplica [su área] (fig. 13) y haciendo lo mismo con una “sólida” —el cubo (fig. 14) se octuplica [su volumen]; y la otra leyenda alude a la orden de la pitonisa de Delos de duplicar el altar dedicado a Apolo para aplacar la ira de los dioses que habían desencadenado una epidemia en la isla.

Es probable que el problema de duplicar el cubo, también llamado problema de Delos o problema délico, no fuera inspirado por la megalomanía de Minos ni por el oráculo de la sibila, sino por los propios geómetras puesto que sabiendo desde los tiempos de Pitágoras que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro tiene doble área que éste (fig. 15), es decir: sabiendo duplicar el cuadrado mediante la construcción gráfica de la raíz cuadrada de 2 y guiados por su espíritu de generalización, parece natural que quisieran trasportar al espacio el mismo problema, lo que les llevó al de extraer la raíz cúbica de 2, y ante la imposibilidad de construir con la regla y el compás la arista de un cubo de doble volumen que otro, redujeron el problema a otro y, según Eratóstenes, fue Hipócrates de Quío el primero que lo intentó.

Este geómetra —a quien no hay que confundir con su homónimo y contemporáneo el de Cos, padre de la Medicina— nació hacia 450 antes de C. y fue comerciante hasta que los recaudadores de la Aduana ateniense que residían en el Quersoneso lo despojaron de sus bienes y, para reclamar los, se trasladó a Atenas, cuyos ciudadanos se burlaron de él por la  ingenuidad que suponía en un extranjero creer que se le iba a hacer justicia. Otros historiadores opinan que la, presencia de Hipócrates en la capital del Ática obedeció al intento de recuperar. las mercancías de uno de sus barcos apresados por piratas atenienses en las proximidades de Bizancio, lo cual era también una tontería.

Sea de ello lo que fuere, es lo cierto que Hipócrates aparece en Atenas por los años de 430, y mientras gestionaba la reivindicación de sus derechos —en lo que están de acuerdo todos los eruditos, ya que no en la causa de la reivindicación— asistió a las lecciones de los filósofos y abrió una escuela de Geometría que fue la que echó las bases del método de reducción que, como hemos dicho antes, consiste en trasformar un problema en otro ya resuelto.

Es posible que tal procedimiento, que parece inseparable de la investigación matemática, hubiera sido empleado antes de Hipócrates, pero fue éste quien descubrió d trato lógico común a muchos métodos para resolver problemas y demostrar teoremas y quien lo aplicó  cuestiones.

2) Trisección de un Angulo:

El problema de la trisección del ángulo —aunque se ignora su origen— no sería aventurado suponer que se lo plantearon los geómetras cuando supieron bisecarlo por el método que hemos aprendido en el Bachillerato, durante cuyos estudios también nos han dicho que el problema de la trisección es posible en algunos casos particulares: po­sible —se entiende— con regla y compás.





Para la solución general los griegos utilizaron la curva construida por Hippias de Elea llamada después cudratriz porque también servía para cuadrar el círculo. La cuadratiz (fig. 19) es la curva que pasa por los puntos de intersección de las diversas posiciones del lado AB del cuadrado ABCD girando con movimiento uniforme alrededor de A hasta ocupar la posición AD y el lado BC trasladándose paralelamente a sí mismo y también con movimiento uniforme hasta llegar también a AD.

Hippias imaginó un aparato para describir mecánicamente la curva, de cuya generación se deduce que trazan una recta cualquiera AB, la razón de cuadrante BED al arco BE es la misma que la del segmento BA al GH, de modo que para trisecar el ángulo EAD basta determinar JI = 1/3GH y el ángulo JAD es la tercera parte del EAD.

3) Cuadratura de un Círculo:

El tercer problema famoso: la cuadratura del círculo, es el más popular  de todos y también fue abordado por Hipócrates, quien consiguió cuadrar algunos meniscos ó lúnulas, es decir: figuras limitadas por arcos de circunferencia, como la ACED (fig. 20) y la ACDB (fig. 21), la primera de las cuales, por ejemplo, limitada por el cuadrante AED y la semicircunferencia ACD de diámetro igual a la cuerda de aquél, equivale al triángulo rectángulo AOD formado por dicha cuerda y por los radios OA y OD que pasan por sus extremos, como se demuestra fácilmente. Los descubrimientos de Hipócrates hicieron concebir la esperanza de cuadrar el círculo por sucesivas cuadraturas de lúnulas, y como todos los intentos fueron estériles, se pensó en otros medios que condujeron al descubrimiento de algunas curvas notables, como la concoide de Nicomedes y la cisoide de Diocles, matemáticos ambos de la época alejandrina.