ANÁLISIS COGNITIVOS DE LA FORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES EN MATEMÁTICAS

El principal aspecto que todo docente debe de tener, es la vocación, ya que de haber llegado a la docencia "por accidente" y no amar la carrera, se corre el riesgo de sufrir con el desempeño y se puede perjudicar a muchos estudiantes cuando no existe una verdadera vocación, sin embargo se ha demostrado que profesionistas de otras áreas que han llegado a la docencia, han descubierto en ella, una profesión maravillosa que no tiene comparación.

La labor del docente es mediar los aprendizajes del los alumnos  a través del los conocimientos previos considerando ritmo de aprendizajes porque debemos recordar que no todos los alumnos aprenden al mismo tiempo mucho menos de la misma forma que al de sus compañeros. El rol del niño también está relacionado con la interacción con los actores de las escuelas ya sea directores, profesores, apoderados, alumnos para lograr en conjunto metas para el desarrollo integral del educando. Pues si bien es cierto con el simple empreño del profesor no se logra nada.

El docente más allá de la teoría, de aquel conocimiento impecable, de ese ser que por sí mismo decidió predicar con el ejemplo para toda la vida, también debe tener la capacidad de preparar el espacio, los recursos, las actividades distribuyendo el tiempo, pues el tiempo es un gran factor dentro del aprendizaje,  creando un ambiente afectuoso donde estén los estímulos necesarios para sus aprendizajes considerando la evaluación como un proceso de inicio, desarrollo y termino. Es importante que el profesor reflexione diariamente sobre la labor que está ejerciendo en el aula y fuera de ella, siendo un crítico constructivo dispuesto al cambio, un maestro reflexivo de mente abierta. Si hablamos de las metodologías que debe ocupar el docente en el aula, estas deben ser de carácter significativo acorde a la realidad social y cultural de los alumnos.

El papel de los docentes hoy en día no solo es el de  transmitir los conocimientos sino que las exigencias de la sociedad piden que los alumnos sepan "aprender a aprender" de manera autónoma promoviendo su desarrollo cognitivo y personal mediante actividades críticas y reflexivas, aprovechando el uso de las tecnologías.

 Basándome en mi experiencia adquirida en las jornadas de observación que he realizado, he llegado a la conclusión que las prácticas de enseñanza son punto clave para que el alumno se interese y encuentre el gusto por la asignatura.

Las matemáticas y el pensamiento lógico, suelen ser algo complicados, y si de hecho los maestros no emplean una estrategia didáctica o sus explicaciones nos llenan las expectativas del estudiante en cuanto a su comprensión, las matemáticas se pueden llegar a convertir en un serio dolor de cabeza.

Los más importante de las matemáticas, no radica simplemente en la resolución de ejercicios por fórmulas, pues estas van más allá buscan desarrollar un pensamiento lógico deductivo, de tal modo que el estudiante despierta destrezas y capacidades de análisis, en este razonamiento lógico el estudiante se interesa más por el conocimiento y siente deseos fuertes de conocer y de estar en continuo ejercicio de sus saberes.

No es fácil ser maestro, ser un buen maestro no es imposible.

ENSEÑANZA DE NÚMEROS NEGATIVOS

La enseñanza de un programa de Matemática es comparable a una cadena: solo falta que falle un eslabón para que pierda su eficacia. El aprendizaje requiere ser, desde el inicio, metódico y muy importante, completo para garantizar su eficacia.

La primera dificultad al iniciar se presenta en la contraposición entre lo aprendido en la escuela y lo que enseña el profesor. No sólo cuesta gran esfuerzo sustituir un conocimiento por otro diferente, sino que promueve en el alumno cierta resistencia a la enseñanza que está recibiendo. Su estado de ánimo negativo traducido en un "no entiendo nada", se agrega muchas veces al de sus propios padres y se agudiza especialmente cuando el alumno comienza a tener bajas calificaciones.

Cuando se comienza a enseñar matemáticas, quizás no se clasifica el concepto de número negativo como uno de los más difíciles de hacer adquirir a los alumnos. Vienen a la mente representaciones muy elementales de la vida corriente: las temperaturas, las ganancias y las pérdidas. No se tarda en descubrir que, junto a la referencia concreta, el cálculo con negativos plantea problemas a muchos alumnos, y que el sentido mismo de lo que es un número negativo abstracto queda oscuro; entonces se ensayan diversos recorridos hacia los negativos, inspirados en los artículos citados, sin resolver de hecho todas las dificultades: en particular, el uso del mismo símbolo  para designar el opuesto y el operador de las sustracción, la justificación de la regla de los signos para la multiplicación, el hecho de que la letra "a", por ejemplo, pueda designar un negativo, a pesar de que no hay signo, el hecho de que –5 sea inferior a 2, ¿una deuda de 5 euros sería más pequeña que una ganancia de 2 euros? E intuimos aquí el hecho de que, quizás, la referencia concreta, lejos de ser una ayuda se puede convertir en un obstáculo.

Buena parte de los alumnos de educación básica concluyen sus estudios escolares obligatorios con ideas confusas sobre los números. Se trata de un hecho bien conocido por los profesores de los últimos cursos de la educación secundaria y de los primeros años de la universidad. Concretamente, los alumnos manifiestan, entre otros aspectos, poca claridad en las relaciones de los diferentes sistemas numéricos (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales), en las distintas formas de escribir un racional (1/2 = 0.5), en la escritura decimal de los reales, en la identificación de los reales con la recta o en la densidad de los racionales en los reales. A pesar de ello, la experiencia docente en los cursos preuniversitarios nos indica que los alumnos utilizan con un cierto grado de precisión la operatoria en cada uno de esos sistemas.

Existes muchas formas o métodos para introducir al niño al conocimiento numérico, así también las soluciones a dichos problemas tienen en común la recta numérica. Por ejemplo si se leda una serie de problemas al estudiante sobre pérdidas y ganancias, de lo primero que pensará, es de cuáles de los problemas se pueden resolver usando números positivos.

Sin lugar a duda el tema de la enseñanza de los números negativos es de mucha importancia, en si no es un tema complicado, si tiene grandes variantes en cuanto a las dificultades que se puede encontrar el alumno, impidiéndole adquirir nuevos conocimientos.

DIFICULTAD ALGEBRAICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Todos vivimos resolviendo problemas: desde el más básico de asegurar la cotidiana subsistencia, común a todos los seres vivos, hasta los más complejos desafíos planteados por la ciencia y la tecnología.

Las matemáticas poseen un papel relevante en la formación integral de los alumnos ya que se orientan a lograr que aprendan a plantear y resolver problemas en distintos contextos, así como a justificar la validez de los procedimientos y resultados, a utilizar adecuadamente el lenguaje matemático para comunicarlos y por qué no asumir una actitud positiva hacia el estudio de esta disciplina.

Todo esto suena bien, como música para mis oídos, que bueno que todo fuera así de simple, sencillo y fácil. Pues podemos leer escribir muchas cosas, pero la realidad desgraciadamente es otra, lo que sucede en un salón de clases es muy diferente, esto no quiere decir que sea imposible, sin embargo tiene un alto grado de dificultad.

Entonces para lograr lo anterior, es necesario que la educación secundaria brinde las condiciones que hagan posible una actividad matemática verdaderamente autónoma y flexible, esto es, propiciar un ambiente en el que los alumnos formulen y validen conjeturas, se planteen preguntas, utilicen procedimientos propios y adquieran las herramientas y los conocimientos matemáticos socialmente establecidos, a la vez que comunican, analizan e interpretan ideas y procedimientos de resolución.

El entorno familiar y escolar genera una serie de creencias y actitudes hacia la resolución de problemas matemáticos. La sociedad en donde el alumno se desenvuelve ha generado al mito de que las matemáticas son muy complicadas y solo están destinadas a los más inteligentes. Los alumnos lo que menos quieren es plantearse y resolver problemas que contengan matemáticas, en algunos casos, no se esfuerzan por comprender los conceptos, simplemente se dan por vencidos desde el inicio del ciclo escolar.

En la educación secundaria pueden observarse las dificultades que los alumnos tienen en el aprendizaje del álgebra tales como errores de sintaxis cuando se realizan operaciones con expresiones algebraicas, en la traducción del lenguaje natural a lenguaje algebraico, en la interpretación incorrecta de expresiones algebraicas así como dificultad al plantear la solución de problemas mediante procesos algebraicos. Para favorecer la adquisición del álgebra y mejorar el desarrollo del pensamiento algebraico en los alumnos de este nivel es necesario el uso de material concreto que les permita realizar abstracciones, y gradualmente lograr la transición entre la aritmética y el álgebra.

La resolución de problemas es una de las tareas más creativas, exigentes e interesantes para la mente humana. Aunque por lo general los problemas juegan un rol importante en cualquier curso de matemática y la habilidad para resolverlos es un aspecto importante de la evaluación, los profesores suelen centrar sus esfuerzos en los aspectos técnicos específicas de su asignatura y no en los aspectos generales de la resolución de problemas.

PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Comprender la naturaleza de la enseñanza de las Matemáticas es muy complicada, abstracta e independiente, gracias a las matemáticas se han construido los pilares básicos en el desarrollo cultural de la humanidad. La importancia cultural adquirida por las Matemáticas ha hecho que sea una de las disciplinas básicas del currículum en la educación.

El quehacer matemático es una actividad creadora de belleza. Si bien es cierto, la exploración de la realidad a través de problemas matemáticos responde en ocasiones a un cierto placer estético, es algo indescriptible que te llena de grandes satisfacciones innato en esta disciplina. Es esa belleza intelectual que según afirmaba Platón "es únicamente asequible por los ojos del alma", belleza que ha sido uno de los estímulos más importantes en el quehacer matemático.

La actitud con la que cualquier persona se enfrenta a un problema o una actividad de tipo matemático puede ser la causa de una dificultad para la resolución de dicho problema. Actitudes como el miedo al fracaso, a la equivocación, el miedo al ridículo, el deseo de terminar pronto la actividad, la ansiedad, la apatía, la pereza a iniciar la actividad,... son algunas de las actitudes que pueden provocar una dificultad añadida al quehacer matemático.

La transición de la aritmética al algebra es un paso importante para llegar a ideas más complejas dentro de las matemáticas escolarizadas, sin embargo presenta obstáculos que la mayoría de los adolescentes encuentran muy difíciles de superar. Esto se debe en parte, a que este contenido matemático se enseña por lo general a partir de fuentes limitadas de significados; usualmente se toma como base el dominio numérico, dejando de lado ideas importantes que se interconectan con otros dominios matemáticos, como el geométrico.

El abordaje empieza por enseñar las expresiones, las ecuaciones y toda la manipulación terminando con la resolución de problemas mediante la aplicación  de dicho contenido aprendido.

En cuanto a las dificultades que enfrentan los estudiantes que trabajan con dicho abordaje, es que se introduce al niño en un simbolismo sin significado alguno y sin sentido, pues vienen de la aritmética, en donde la contextualización del problema tiene mucho que ver  en la manera de resolverlos.

Uno de las propuestas seria que lo más viable seria la introducción temprana al pensamiento algebraico, ya que el desarrollo del pensamiento es un proceso muy largo, así como encuentra dificultades en la aritmética lo más probable que en algebra también los tenga y es válido. Pero nosotros futuros docentes, una vez identificado los obstáculos es necesario conocer su origen, pues es ahí donde se encuentra el verdadero problema.

Lo que estamos tratando de la introducción temprana al pensamiento algebraico, se puede realizar de varias formas y una de ellas puede ocurrir a través del razonamiento proporcional, ¿porqué?, ya que este ofrece una vinculación de la aritmética con el álgebra, mediante la orientación de aspectos numéricos y geométricos hacia ideas algebraicas tales como la variable, etc.

Decimales

Una gran dificultad en la enseñanza de las matemáticas es que como ciencia la matemática es muy diferente a cualquier otra área. En biología, física y otras ramas de la ciencia las teorías son en gran medida experimentales. La aceptación de teorías nuevas está basada en la validez de los experimentos, en la habilidad de replicarlos y que  los resultados no contradigan teorías previas que son aceptadas como verdaderas.

En matemáticas, por el contrario, las teorías no están basadas en experimentos por lo cual deben estar fundamentadas con pruebas rigurosas.

La importancia del estudio de estos números en la escolaridad obligatoria es ampliamente reconocida; por un lado, por la necesidad de medir de manera aproximada cantidades continuas, lo que supone abordar un problema de interés práctico.

Por otro lado, desde una perspectiva teórica, la matemática va exigiendo de una generalización que permita ir solucionando tanto las limitaciones que cada teoría muestra para determinados avances, como la necesaria descontextualización.

Entendemos los números decimales como los números racionales para los cuales existe al menos una expresión decimal finita, o de manera equivalente, los racionales expresables mediante una fracción decimal. Los números racionales (y por tanto también los números decimales) se pueden escribir mediante fracciones o con notación decimal.

Diversos son los recursos que a lo largo de la historia se han utilizado para trabajar los números decimales, desde las regletas de Cuisenaire, bloques multibase, ábacos, la recta numérica, la calculadora, hasta el ordenador. Actualmente existen diversos recursos informáticos que permiten, tanto al docente como al alumno, disponer de una herramienta interactiva que proponen, a través de la visualización y ejercitación autónoma, nuevas herramientas en apoyo de la compresión y justificación de nociones, propiedades, algoritmos.

Al iniciar el estudio de los números decimales con una situación motivadora, efectivamente, el problema planteado responde a una cuestión de la vida cotidiana, lo que puede involucrar emotivamente al alumno y en cuyo enunciado se hallan expresiones que refieren a números decimales. No obstante, la situación puede carecer totalmente de sentido para introducir estos números dado que efectivamente podría obviarse toda la complejidad que implica el tratamiento de la medida, dejando de lado el uso del metro y solo operar con las medidas expresadas en centímetros.

El inicio del estudio del número decimal requiere trabajar de manera adecuada nociones como la posición que ocupa una cifra y su valor. En tal sentido la décima y la centésima son nociones que corresponden ser trabajadas, como también lo afirma la prescripción curricular.

No obstante, mediante el análisis realizado, se puede observar que tal introducción se realiza en el texto de manera formal y que las distintas tareas colocadas como actividades se movilizan en un contexto puramente matemático. Este modo de abordar la décima y la centésima no deja clara la correspondencia que dichas nociones tienen con las unidades empleadas en el contexto de la medida (m, dm y cm).

El arte de divulgar las matemáticas  consiste en buscar una forma de explicar un resultado complicado de manera intuitiva pero rigurosa de tal manera que lo que digamos sea sencillo de entender, pero a la misma vez apegado enteramente a la verdad.

fracciones (2da parte)

Nos encontramos con frecuencia situaciones en las que es preciso dividir un todo en partes, repartir un conjunto de objetos en partes iguales o medir una cierta cantidad de una magnitud que no es múltiplo de la unidad de medida. Para resolver estas situaciones prácticas, tenemos necesidad de expresar el cociente de dos números naturales (en los casos en que no es un número natural).

 Ello nos lleva a la idea de fracción y tras un proceso de abstracción a la introducción de los números racionales.

- pedro: He ido con mi padre a la pescadería del barrio y, mientras esperábamos nuestro turno, he oído las siguientes conversaciones entre la pescadera y los clientes: Por favor, póngame medio kilo de salmonetes y la mitad del cuarto de gambas. Pues yo quiero, cuarto y mitad de almejas y medio kilo de boquerones. Me pone tres cuartos de kilo de doradas.

Lo antes mencionado son situaciones en donde nosotros empleamos lo que son fracciones a veces de una forma implícita, o también cuando:

Al seguir instrucciones de una receta de cocina, fraccionamos los ingredientes; Cuando vamos al supermercado y queremos adquirir algún alimento como por ejemplo: medio litro de jugo (1/2), un cuarto de kilo de café(1/4), tres cuartos de kilo de queso(3/4) estamos utilizando la noción de fracción; Al repartir alimentos como pizza, tortas, pan, chocolate, panque...entre otros seguimos fraccionando;

La importancia que tiene el aprendizaje de las fracciones en la Educación Básica se justifica a partir del uso cotidiano que se tiene de ellas y del servicio que brinda para el aprendizaje de contenidos y herramientas posteriores a las que tendrá que enfrentarse el estudiante como parte de su formación académica.

Uno de los problemas que tiene el estudiante para comprender la noción de fracción se debe a la pobreza de significados a los que se enfrenta el alumno para el aprendizaje de este contenido.

Es de vital importancia considerar que al empezar a trabajar un tema de matemáticas en general, los contenidos a desarrollar deben estar vinculados con el lenguaje cotidiano de los alumnos, con respecto a las fracciones obviamente.

Se recomienda que la introducción de “noción de fracción” se haga de manera intuitiva, empleando para ello los términos medios, cuartos y octavos. También se recomienda iniciar el estudio de las fracciones en situaciones de reparto y medición de longitudes, para posteriormente iniciar al alumno en la notación convencional e introducirlo a la noción de suma de fracciones sencillas empleando material concreto.

Es importante que los alumnos y alumnas tengan una actitud positiva hacia las matemáticas, dándose cuenta de su utilidad, ya que las matemáticas están presentes en cualquier situación o realidad de la vida.

Homotecia

Un profesional de la educación debe manejar el soporte de conocimientos que son básicos para el desempeño de la función de enseñar y aprender. Al mismo tiempo debe ser capaz de tomar decisiones autónomas, con independencia, libertad y responsabilidad; tolerar opiniones y modos de actuar diferentes, valorar las inquietudes y los esfuerzos de cambio, generar experiencias de aprendizajes significativos y creadores, respetar la sensibilidad e individualidad evitando imponer ideas o formas de pensamiento.

 Homotecia se define como: Una Transformación Geométrica que hace corresponder un punto A con otro punto denominado A`. La homotecia en resúmen provoca un aumento o disminución del tamaño original de la figura; para ello se necesita un Punto al que se le denomina Centro de Homotecia y una Razón r que es un número con el cual se realiza esta Transformación Geométrica:

·si r>1; se produce un aumento en la figura.
·Si r<1; se produce una disminución del tamaño de la figura.
·Si r<0; se produce una figura inversa en el lado opuesto del Centro de Homotecia.

Desde un punto de vista didáctico las Homotecias se pueden contextualizar relacionándolas a ejemplos de la vida cotidiana como son: Las perspectivas de figuras ya sean árboles, calles, alturas, etc. Hoy en día existe numeroso software educativo que se utiliza como recursos didácticos en el aula, la utilización adecuada de ellos permiten que los alumnos vean de forma clara y fácil todas las características geométricas y comportamientos de las figuras, y en forma especial el tema que estoy desarrollando.

El aula de matemáticas siempre es difícil tener a un alumnos tranquilo y sobre todo que este poniendo atención vamos a dejar atrás el tema en sí, en este caso la homotecia. 

Para el desarrollo de las habilidades descritas es importante que el maestro propicie en los alumnos la curiosidad y el interés por resolver situaciones problemáticas en diversos contextos.

Resultara mejor si Planteamos  problemas implica que los alumnos desarrollen habilidades de conteo, medición, cálculo, seriación, clasificación y razonamiento; por ello, es importante que se presenten diferentes situaciones en las que los alumnos seleccionen, organicen y busquen la información faltante que les permita utilizar sus estrategias y conocer la de los demás, buscando encontrar respuesta al problema presentado. Cuando se trabaje con problemas por ciclos o con niños de diferentes grados, es importante que el maestro plantee tareas en las que se apoyen mutuamente, por ejemplo: al estar reunidos niños de diferentes grados y medir el perímetro del salón, de las mesas, del pizarrón, de los libros y de los cuadernos, los más pequeños podrán utilizar un intermediario y los mayores con alguna medida convencional. Aunque las actividades sean diferentes, por ciclo y/o grado, el hecho de que todos trabajen sobre un mismo aspecto favorece la interacción y el intercambio de ideas, de esta manera pueden presentar en el grupo los registros que realizaron sobre las diferentes medidas.

Al relacionar Matemáticas con otras asignaturas, se busca que los alumnos cuenten con informaciones y aplicaciones reales, útiles e interesantes, por ejemplo: con Geografía en la elaboración de croquis y planos, en los que los niños, si conocen la escala de un mapa, podrán calcular distancias entre un punto y otro, registrar datos estadísticos para hacer gráficas; en Historia realizar una línea del tiempo para ubicar el periodo transcurrido entre un suceso y otro; en Ciencias Naturales elaborar, registrar y analizar en tablas y gráficas datos relacionados con la alimentación y hábitos de algunos animales y del ser humano, así como conocer y comparar el tamaño o peso.

Semejanza

Una semejanza es la composición de una isometría (o sea, una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. (Es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación). Puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no altera su forma.

Cuando se utiliza el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué nos estamos refiriendo?  Será acaso:

• Un objeto que se parece a otro
• Objetos de igual tamaño
• Objetos de igual forma
• Objetos exactamente iguales

Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros.

Por ejemplo:

1. El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María.
2. La pelota de ping-pong es semejante a la de fútbol.
3. La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique.
4. Los gemelos Baltodano Carrillo son tan semejantes que es difícil diferenciarlos.
5. La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano José.

Se podría seguir enunciando ejemplos, que ayuden a comprender el concepto de semejanza.  Note que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño y forma, entre otros. 

 El uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existe entre dos personas u objetos.

El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad.  En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporción entre ellos.  Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad.

Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa.  Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000, es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.  Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad.  Note que el mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real. 

La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.

Geometría

Hoy en día sabemos que el desarrollo de una sociedad se basa en la educación de sus ciudadanos. Considerando la educación como una continua experiencia de vida intelectual y ética, lo cual es su esencia, yendo más allá de rituales desprovistos de sentido para trabajar juntos docentes y alumnos, descubriendo y sistematizando procesos que al generalizarse permitan el acceso a la información, es como pretendemos cambiar para incrementar la calidad de nuestra educación en todos los niveles y modalidades del sistema, transformando la práctica pedagógica con el diseño de nuevas estrategias.

La geometría ha sido desde los inicio de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.

La geometría es una parte importante de la cultura del hombre, no es fácil encontrar contextos en que la geometría no aparezca de forma directa o indirecta. Actividades tan variadas como el deporte, la jardinería o la arquitectura por citar algunas se sirven de la utilización, consciente o no, de procedimientos geométricos.  Se admite de forma universal la importancia de la geometría como formadora del razonamiento lógico

Ante todo, los maestros de obra de las logias de constructores medievales eran expertos geómetras. Con la única ayuda de figuras geométricas básicas, como el círculo, el cuadrado y el triángulo, eran capaz de diseñar las plantas y alzados más complejos, además de los Diseños de figuras humanas y animales representadas en esculturas y vidrieras.

Por este motivo, no es extraño que en numerosos edificios veamos representados algunos de los “atributos” que les identificaban, como el compás, la escuadra o el nivel. Estos símbolos corporativos fueron más tarde heredados por la masonería especulativa, que aún hoy los utiliza en sus templos e indumentaria.

Como muestra de la importancia que tenía la geometría entre los constructores medievales, os dejo un par de ejemplos. El primero es una hermosísima vidriera existente en la catedral de Chartres, en la que se observa a un maestro de obras trazando el plano de un edificio con su compás. La otra imagen pertenece a una de las páginas del cuaderno de trabajo del maestro Villard de Honnecourt, un arquitecto medieval cuyas anotaciones han permitido conocer con cierto detalle las técnicas y procedimientos que utilizaban estos expertos trabajadores. Si os fijáis veréis, por ejemplo, el uso del pentagrama para crear figuras humanas (pinchad en ambas imágenes para verlas en mayor tamaño).

¿Por qué estudiar geometría? la pregunta del millón, El alumno que empieza a estudiar geometría, puede preguntar con toda razón : ¿Que es la geometría? ¿Que gano con estudiarla?.

Uno de los beneficios de la geometría es que el estudiante adquiere un criterio al escuchar leer y pensar. Cuando estudia geometría, deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le enseñe a pensar en forma clara y critica, antes de hacer conclusiones.

Otro es el adiestramiento en el uso exacto de idioma y en la habilidad para analizar un problema nuevo, para diferenciar diferenciar sus partes cruciales y aplicar la perseverancia, originalidad y razonamiento lógico para resolver el problema.Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias matemáticas y los matemáticos han aportado a nuestra cultura y civilización.

La geometría   es la rama de las matemáticas que estudia figuras geométricas utilizando métodos del análisis matemático. Los primeros conocimientos geométricos que tuvo el hombre consistían en un conjunto de reglas prácticas. Para que la geometría fuera considerada como ciencia tuvieron que pasar muchos siglos, hasta llegar a los griegos. Es en Grecia donde se ordenan los conocimientos empíricos adquiridos por el hombre a través del tiempo y, al reemplazar la observación y la experiencia por deducciones racionales, se eleva la Geometría al plano rigurosamente científico.

fracciones

 

FRACCIONES

INTRODUCCIÓN

El docente es, sin duda alguna, uno de los depositarios máximos de las miradas que el contexto social pone en la institución escolar. Desde la aparición de la figura del maestro, como el responsable de la tarea de impartir educación formal, su perfil estuvo asociado indudablemente a las características que la sociedad le fue imponiendo. Sin embargo, lo que se constituyó como una propiedad perdurable, fue sin duda alguna, la responsabilidad que a su rol se le atribuye, ligada a la transformación de otro u otros.

Desde algunas perspectivas se considera que para enseñar, sólo basta transmitir conocimientos, de tal manera que el alumno sea mero receptor de la información que le proporciona el docente. En contraposición, otra postura sostiene que el docente debe favorecer la construcción del conocimiento de sus alumnos mediante un trabajo más activo por parte de éste. Entre ambos posicionamientos existe una multiplicidad de puntos de vista en los que coexisten aspectos comunes a los mismos, los que al fin de cuentas aparecen sólo como simples expresiones intermedias.

Los innumerables supuestos que surgen ante el “¿cómo hay que enseñar?” se han visto reflejados en los resultados de numerosas investigaciones didácticas. Algunas de ellas han puesto el acento en el rol del docente, en las formas de enseñanza y aprendizaje. Otras han tenido en cuenta aspectos relativos a las concepciones que los profesores tienen acerca de su accionar. Las concepciones que éstos tengan acerca de la enseñanza, de los contenidos, de los alumnos y de la realidad circundante, afectarán sin duda alguna el modo en que enfoque la enseñanza.



CONTENIDO

En la matemática las fracciones o números racionales surgen como necesidad de ampliación del campo numérico de los números enteros.

El camino para el aprendizaje de las fracciones lo constituirán los problemas dados en los distintos contextos en que aparecen las fracciones: medida, reparto equitativo, trayectos, patrones, probabilidad, ganancias, recetas, áreas, etc. Serán las situaciones en contextos variados los que den oportunidad a los alumnos de reinventar estos números reconociendo su necesidad y significado. (Cualquier decimal o porcentaje, en tanto formas de escrituras de las fracciones, pueden ser interpretados también de cada una de estas maneras). ¿Cuáles son los diferentes significados de las fracciones en sus contextos de uso?



a. La fracción como expresión que vincula la parte con el todo (continuo o discontinuo)

En este caso se la utiliza para indicar “la fractura” o “división en partes”, respondiendo a la pregunta ¿qué parte es? del entero en cuestión. Se conviene que el denominador de la fracción indica el número de partes en que está dividido dicho entero y el numerador las partes consideradas.

b. La fracción como reparto equitativo

Respondiendo a la pregunta ¿cuánto le corresponde a cada uno? Por ejemplo, si tengo 9 panqueques para ser repartidos entre 7 invitados, cada invitado comerá 9/7 lo que equivale a 1 panqueque y 2/7. Análogamente, si he de repartir 3 barras de chocolate entre 4 niños cada uno recibirá 3/4 de barra. Estas situaciones se diferencian de las de parte todo en tanto intervienen unidades múltiples (panqueques- niños - manzanas - comensales, etc.)

c. La fracción como razón

Sirve a la pregunta ¿en qué relación están? ya que pone de manifiesto la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de comparar:

- dos conjuntos distintos, por ejemplo, la razón o relación entre número de libros en la clase y número de alumnos. Así, 13 libros para 26 alumnos podrá expresarse como 13/26 leyéndose “13 a 26” ó lo que es lo mismo, “1 por cada 2”.

un conjunto y un subconjunto del mismo, por ejemplo, la relación entre los 21 alumnos en total y los alumnos varones (11) de una clase puede expresarse como 11/21 o “11 a 21”. Un caso especial lo constituye la probabilidad definida como el número de casos favorables sobre el número de casos posibles de un evento determinado. Por ejemplo, en la tirada de un dado la probabilidad o razón de probabilidad de que salga un 2 “es uno a 6” lo cual se indica como 1/6.

- dos medidas según una unidad de medida común, por ejemplo, podremos afirmar que Juan tiene una altura equivalente a 2/3 de la de Pedro (en cm) o que la escala (razón entre la distancia entre dos puntos determinados en el mapa y su distancia real) es 1 sobre 1 000000, lo que puede significar que un milímetro en el mapa corresponde a un kilómetro en la realidad. Ejemplos de presentación de escalas: 1cm representa 100km y una pulgada representa 100millas:Km. 0 50 100 150 200 Millas 0 50 100 150 200

- un conjunto y un subconjunto del mismo, por ejemplo, la relación entre los 21 alumnos en total y los alumnos varones (11) de una clase puede expresarse como 11/21 o “11 a 21”. Un caso especial lo constituye la probabilidad definida como el número de casos favorables sobre el número de casos posibles de un evento determinado. Por ejemplo, en la tirada de un dado la probabilidad o razón de probabilidad de que salga un 2 “es uno a 6” lo cual se indica como 1/6.

- dos medidas según una unidad de medida común, por ejemplo, podremos afirmar que Juan tiene una altura equivalente a 2/3 de la de Pedro (en cm) o que la escala (razón entre la distancia entre dos puntos determinados en el mapa y su distancia real) es 1 sobre 1 000000, lo que puede significar que un milímetro en el mapa corresponde a un kilómetro en la realidad. Ejemplos de presentación de escalas: 1cm representa 100km y una pulgada representa 100millas:Km. 0 50 100 150 200 Millas 0 50 100 150 200

d. La fracción como división indicada

Para el caso en que la división sea inexacta, por ejemplo 3:7 no da un cociente entero (0.428571…) luego puede ser conveniente dejar expresada esta división como 3/7, lo cual es un resultado exacto. Es en este contexto en que “tres séptimos” se lee “ 3 dividido 7”.

e. La fracción como un punto de la recta numérica

Ubicadas en posiciones intermedias entre dos números enteros

f. La fracción como operador

En este caso la fracción actúa sobre otro número, en lugar de como una entidad con sentido autónomo. Esto se explicita cuando se piden, por ejemplo, los 4/5 de 20 (o el 80% de 20) ó los 3/4 de 56 (75% de 56).

Son los contextos los que caracterizan con qué sentido se usan las fracciones, lo cual puede apreciarse en los siguientes problemas. Sin embargo, vale decir que no siempre está claramente definido para los alumnos el aspecto en cuestión y un mismo problema puede ser resuelto desde distintos usos de la fracción.

Los significados de las operaciones con fracciones

Si bien la formalización, es decir, el trabajo con las definiciones a nivel simbólico de las operaciones, no corresponde al segundo ciclo, sí corresponde comenzar a trabajar problemas (y no ejercicios aislados) en los que se vaya trabajando el sentido de las definiciones mismas.

A continuación presentamos algunos comentarios que pueden resultarnos de utilidad a los docentes para comprender los variados significados de las operaciones con números racionales y ayudarnos en la búsqueda de situaciones y problemas para dar a nuestros alumnos.

En la suma y la resta

Se han de buscar situaciones que tengan fracciones con igual y distinto denominador, y que combinen fracciones, números naturales y números mixtos.

Los significados de las fracciones pensadas como estados son idénticos a los de la suma y la resta con naturales (unir, separar, agregar, quitar, igualar).

Las fracciones pensadas como operadores implican la búsqueda de una cantidad intermedia (unidad o común denominador) al que se aplican. Por ej. 2/3 + 3/4 se  puede pensar como 2/3 de una cantidad más 3/4 de la misma. Por ejemplo, sea la cantidad 12, con lo cual 2/3 de 12 es 8 y 3/4 de 12 es 9 y el resultado de sumarlas es 17/12.

Por ejemplo, el problema Ana se comió 2/4 de las galletitas y Nina 2/5 de las mismas ¿Qué parte de galletitas quedaron en el tarro? puede ser pensado como dos estados que se unen o bien como dos operadores que actúan sobre la cantidad de galletitas. En ambos casos se ha de buscar una unidad conveniente, por ejemplo 20 y el resultado será 18/20.

En la multiplicación

Se darán situaciones problemáticas de multiplicación de números naturales por fracciones y fracciones entre sí atendiendo a los distintos significados:

- n x a/b resulta identificable como “n veces a/b” Por ejemplo 5 x 3/4 = 5 veces 3/4

- a/b x n resulta identificable con la expresión “a/b de n” lo que implica dividir n por b y multiplicar el resultado por a ó viceversa. Por ejemplo: 3/5 x 10 será pensado como 3/5 de 10 lo que resulta igual a 6.

- a/b x c/d = se extiende el significado anterior “a/b de c/d”. En general el resultado es menor que los factores salvo que se trabaje con fracciones mayores que la unidad. Por ejemplo: 2/3 de 3/4 resultará 6/12. Los significados de las operaciones con fracciones

Si bien la formalización, es decir, el trabajo con las definiciones a nivel simbólico de las operaciones, no corresponde al segundo ciclo, sí corresponde comenzar a trabajar problemas

(y no ejercicios aislados) en los que se vaya trabajando el sentido de las definiciones mismas.

En la división

Se darán situaciones que atiendan a dividir fracciones por naturales, naturales por fracciones y fracciones entre sí

1) n : a/b posee el significado de partir (¿Cuántas veces cabe a/b en n?). Por ejemplo: 6 : 2/3 equivale a cuántas veces cabe 2/3 en 6, lo que da 9 veces.

2) a/b : n = puede pensarse como repartir una fracción en n partes. Por lo que 2/3 dividido 3 resulta 2/9.

3) a/b : c/d corresponde también a partir (¿Cuántas veces cabe c/d en a/b?) Por ejemplo: 3/4 : 1/4 equivale a cuántas veces cabe 1/4 en 3/4 lo que es igual a 3.